Uma amostra de 15 g de \mathrm{N}_{2} está confinada em um vaso com 220 kPa e 200 K e depois se expande
adiabática e reversivelmente até a pressão de 110 kPa. Calcule a temperatura final em cada processo.

Passo 1

O enunciado dá 15 g de \mathrm{N}_2 inicialmente em P_1=220\text{ kPa} e T_1=200\text{ K}, que se expande de forma adiabática e reversível até P_2=110\text{ kPa}. O conteúdo é o de transformação isentrópica de um gás perfeito (adiabática reversível), para a qual usamos a relação entre temperatura e pressão com calor específico constante.

Passo 2

Determinar o número de mols de \mathrm{N}_2, embora não apareça explicitamente na fórmula final, apenas para checar consistência. A massa molar do \mathrm{N}_2 é M=28{,}0\text{ g/mol}, então
n = \frac{15\text{ g}}{28{,}0\text{ g/mol}} = 0{,}536\text{ mol}.

Passo 3

Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal com calor específico constante, vale
\frac{T_2}{T_1} = \biggl(\frac{P_2}{P_1}\biggr)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}},
onde \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}. Para o \mathrm{N}_2 (gás diatômico), \gamma \approx 1{,}4.

Passo 4

Substituindo os valores:
\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1{,}4-1}{1{,}4} = 0{,}4/1{,}4 \approx 0{,}2857,
\frac{P_2}{P_1} = \frac{110}{220} = 0{,}5,
T_2 = 200\;\bigl(0{,}5\bigr)^{0{,}2857}.
Calculando \bigl(0{,}5\bigr)^{0{,}2857}\approx 0{,}821, obtemos
T_2 \approx 200 \times 0{,}821 = 164{,}2\text{ K}.

Resposta

A temperatura final na expansão adiabática e reversível é aproximadamente 164{,}2\text{ K}.

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