Uma amostra de 30 elementos com SQT=1000 foi empregada para ajustar modelos de regressão linear em função de 2 varáveis auxiliares
. Os modelos e os respectivos coeficientes de determinação (
) estão dispostos na tabela abaixo:
Modelo | Expressão |
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---|---|---|
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0,54 |
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0,648 |
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0,720 |
Considere as seguintes assertivas:
- A hipótese nula
é falsa, com obs
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ajustar modelos de regressão linear usando duas variáveis auxiliares, $ X_1 $ e $ X_2
R^2 $). A gente vai precisar entender sobre regressão linear múltipla, coeficiente de determinação e testes de hipóteses usando o teste $ F $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de determinação ($ R^2 $). Ele indica a proporção da variabilidade da variável dependente $ Y $ que é explicada pelas variáveis independentes no modelo. Quanto maior o $ R^2 $, melhor o modelo se ajusta aos dados.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que cada modelo representa:
- Modelo $ M_1 $: $ Y = f(X_1) $ com $ R^2 = 0,54 $
- Modelo $ M_2 $: $ Y = f(X_2) $ com $ R^2 = 0,648 $
- Modelo $ M_3 $: $ Y = f(X_1, X_2) $ com $ R^2 = 0,720 $
Podemos ver que, adicionando mais uma variável no modelo ($ M_3 $), o $ R^2 $ aumenta, indicando que $ X_1 $ e $ X_2 $ juntos explicam mais da variabilidade de $ Y $.
Passo 4
Vamos agora entender a hipótese que está sendo testada:
-
Hipótese Nula ($ H_0 $): $ \beta_1 \neq 0 $ e $ \beta_2 \neq 0 $Aqui, $ \beta_1 $ e $ \beta_2 $ são os coeficientes das variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $ no modelo de regressão múltipla. A hipótese nula está dizendo que ambos os coeficientes são diferentes de zero, ou seja, ambas as variáveis têm efeito significativo sobre $ Y $.
Passo 5
O enunciado também nos dá o valor observado do teste $ F $ que é 6,94 e o valor crítico de $ F $ para graus de liberdade (1, 27) e nível de significância de 5% é 4,21.
Para testar a hipótese, a gente compara o valor observado de $ F $ com o valor crítico:
- Se $ F_{obs} > F_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ F_{obs} \leq F_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 6
Vamos aplicar isso ao nosso caso:
- $ F_{obs} = 6,94 $
- $ F_{crítico} = 4,21 $
Como 6,94 é maior que 4,21, a gente rejeita a hipótese nula.
Resposta
A hipótese nula $ H_0: \beta_1 \neq 0 ; \beta_2 \neq 0 $ é falsa, já que o valor observado de $ F $ (6,94) é maior que o valor crítico (4,21).