Uma amostra de 30 elementos com SQT=1000 foi empregada para ajustar modelos de regressão linear em função de 2 varáveis auxiliares (X1 ; X2). Os modelos e os respectivos coeficientes de determinação ( R^2 ) estão dispostos na tabela abaixo:
Modelo Expressão R^2
M1 Y=f(X1) 0,54
M2 Y=f(X2) 0,648
M3 Y=f(X1, X2) 0,720
Considere as seguintes assertivas:
  1. A hipótese nula H0: beta1 neq 0 ; beta2 neq 0 é falsa, com F( obs )=6,94>F(1 ; 27 ; 0,05)=4,21

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ajustar modelos de regressão linear usando duas variáveis auxiliares, $ X_1 $ e $ X_2 X1 êçã R^2 $). A gente vai precisar entender sobre regressão linear múltipla, coeficiente de determinação e testes de hipóteses usando o teste $ F $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de determinação ($ R^2 $). Ele indica a proporção da variabilidade da variável dependente $ Y $ que é explicada pelas variáveis independentes no modelo. Quanto maior o $ R^2 $, melhor o modelo se ajusta aos dados.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que cada modelo representa:
  • Modelo $ M_1 $: $ Y = f(X_1) $ com $ R^2 = 0,54 $
  • Modelo $ M_2 $: $ Y = f(X_2) $ com $ R^2 = 0,648 $
  • Modelo $ M_3 $: $ Y = f(X_1, X_2) $ com $ R^2 = 0,720 $
Podemos ver que, adicionando mais uma variável no modelo ($ M_3 $), o $ R^2 $ aumenta, indicando que $ X_1 $ e $ X_2 $ juntos explicam mais da variabilidade de $ Y $.

Passo 4

Vamos agora entender a hipótese que está sendo testada:
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): $ \beta_1 \neq 0 $ e $ \beta_2 \neq 0 $
    Aqui, $ \beta_1 $ e $ \beta_2 $ são os coeficientes das variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $ no modelo de regressão múltipla. A hipótese nula está dizendo que ambos os coeficientes são diferentes de zero, ou seja, ambas as variáveis têm efeito significativo sobre $ Y $.

Passo 5

O enunciado também nos dá o valor observado do teste $ F $ que é 6,94 e o valor crítico de $ F $ para graus de liberdade (1, 27) e nível de significância de 5% é 4,21.
Para testar a hipótese, a gente compara o valor observado de $ F $ com o valor crítico:
  • Se $ F_{obs} > F_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ F_{obs} \leq F_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Vamos aplicar isso ao nosso caso:
  • $ F_{obs} = 6,94 $
  • $ F_{crítico} = 4,21 $
Como 6,94 é maior que 4,21, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

A hipótese nula $ H_0: \beta_1 \neq 0 ; \beta_2 \neq 0 $ é falsa, já que o valor observado de $ F $ (6,94) é maior que o valor crítico (4,21).

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