Um experimento foi conduzido para avaliar a resistencia a compressão de tipos diferentes de caixas. Foram utilizados 4 tipos de caixas, empregando-se 6 caixas de cada tipo. Os resultados observados foram.
Tipo de caixa Resistencia média Desvio Padrão
1 714 46
2 756 40
3 XXX 37
4 562 40
Total 682,5
Infelizmente o valor da média dos dados da caixa de tipo 3 está ilegível. Considere as seguintes assertivas:
5. O Quadrado Médio Dentro (QMD) é igual a 1671,25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um experimento que avaliou a resistência à compressão de quatro tipos diferentes de caixas. Para cada tipo, foram testadas 6 caixas. As médias de resistência e os desvios padrão são fornecidos para os tipos 1, 2 e 4, mas a média do tipo 3 está faltando. Além disso, temos uma afirmação sobre o Quadrado Médio Dentro (QMD) ser igual a 1671,25. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Estatística, especificamente de Análise de Variância (ANOVA). Vamos descobrir juntos se essa afirmação é verdadeira!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Quadrado Médio Dentro (QMD). Em ANOVA, o QMD representa a variabilidade dentro dos grupos, ou seja, quanto as observações dentro de cada tipo de caixa variam entre si. Ele é calculado dividindo a soma dos quadrados dentro pelos graus de liberdade dentro.

Passo 3

Vamos começar calculando a soma total das resistências. Sabemos que a média geral é 682,5 e temos 24 caixas no total (4 tipos × 6 caixas cada). Então:
Soma total = 682,5 times 24 = 16.380

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma das resistências para os tipos 1, 2 e 4 e depois descobrir a soma do tipo 3.
  • Tipo 1: 714 times 6 = 4.284
  • Tipo 2: 756 times 6 = 4.536
  • Tipo 4: 562 times 6 = 3.372
Somando esses:
4.284 + 4.536 + 3.372 = 12.192

Passo 5

Para encontrar a soma das resistências do tipo 3, subtraímos a soma dos tipos 1, 2 e 4 da soma total:
Soma do tipo 3 = 16.380 - 12.192 = 4.188
Então, a média do tipo 3 é:
Média do tipo 3 = 4.1886 = 698 é

Passo 6

Agora, vamos calcular os quadrados dos desvios padrão para cada tipo, que representam a variância de cada grupo:
  • Tipo 1: 46^2 = 2.116
  • Tipo 2: 40^2 = 1.600
  • Tipo 3: 37^2 = 1.369
  • Tipo 4: 40^2 = 1.600

Passo 7

Em ANOVA, a soma dos quadrados dentro (SQD) é calculada multiplicando cada variância pelo número de graus de liberdade dentro de cada grupo. Como temos 6 caixas por tipo, os graus de liberdade dentro de cada grupo são 6 - 1 = 5.
Então:
SQD = 5 times 2.116 + 5 times 1.600 + 5 times 1.369 + 5 times 1.600
SQD = 10.580 + 8.000 + 6.845 + 8.000 = 33.425

Passo 8

Os graus de liberdade dentro (GLD) são o total de observações menos o número de grupos:
GLD = 24 - 4 = 20

Passo 9

Finalmente, o Quadrado Médio Dentro (QMD) é a soma dos quadrados dentro dividida pelos graus de liberdade dentro:
QMD = 33.42520 = 1.671,25

Resposta

Então, confirmando a afirmação, o Quadrado Médio Dentro (QMD) é realmente igual a 1.671,25.

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