Uma amostra de 50 microfuradeiras que furam uma liga de aço de baixo carbono, o tempo de vida médio (expresso como o número de furos feitos antes de uma falha) foi 12,68 com um desvio padrão de 6,83 . Determine um intervalo de confiança de 95 \% para o tempo de vida médio das microfuradeiras sob essas condições.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=50 microfuradeiras, com tempo de vida médio amostral \bar x = 12,68 e desvio‐padrão amostral s = 6,83. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional do tempo de vida usando técnica de inferência sobre média quando \sigma é desconhecido.

Passo 2

Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é relativamente grande ( n<30 usaríamos normal, mas aqui adotamos a distribuição t de Student para todo caso de \sigma desconhecido), o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar x \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.

Passo 3

O nível de significância é \alpha = 0{,}05, logo \alpha/2 = 0{,}025. Os graus de liberdade são n-1 = 49. A partir da tabela de Student,
t_{0,025,\,49} \approx 2,0096.

Passo 4

Calculamos o erro estándar da média (standard error):
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6,83}{\sqrt{50}} \approx 0,966.

Passo 5

A margem de erro é
E = t_{0,025,49}\times \text{SE} \approx 2,0096 \times 0,966 \approx 1,94.
Portanto, o intervalo fica
12,68 \pm 1,94
isto é, desde 12,68-1,94=10,74 até 12,68+1,94=14,62.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o tempo de vida médio é aproximadamente
[10,74;\;14,62].

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