\mathbf{2 0} - a) Sejam A_{1}, A_{2} e A_{3} três eventos independentes. Mostre que A_{1}^{C}, A_{2} e A_{3} são independentes.
b) O que pode ser dito sobre A_{1}, A_{2}^{\complement} e A_{3}?

Passo 1

O enunciado nos dá três eventos A_{1},A_{2},A_{3} que são independentes, e pede para mostrarmos duas coisas:
  1. Que A_{1}^{\complement},A_{2},A_{3} são independentes.
  2. O que ocorre com A_{1},A_{2}^{\complement},A_{3}.
Para isso, vamos usar a definição de independência:
P(E\cap F)=P(E)\,P(F) \quad\text{e}\quad P(E\cap F\cap G)=P(E)\,P(F)\,P(G).

Passo 2

Mostramos primeiro a independência tripla de A_{1}^{\complement},A_{2},A_{3}. Começamos por calcular
P\bigl(A_{1}^{\complement}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr) = P\bigl(A_{2}\cap A_{3}\bigr) - P\bigl(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr).
Como A_{1},A_{2},A_{3} são independentes, temos
P\bigl(A_{2}\cap A_{3}\bigr)=P(A_{2})\,P(A_{3}), \quad P\bigl(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr)=P(A_{1})\,P(A_{2})\,P(A_{3}).
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P\bigl(A_{1}^{\complement}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr) = P(A_{2})\,P(A_{3}) - P(A_{1})\,P(A_{2})\,P(A_{3}) = \bigl(1 - P(A_{1})\bigr)P(A_{2})\,P(A_{3}) = P\bigl(A_{1}^{\complement}\bigr)\,P(A_{2})\,P(A_{3}).

Passo 3

Agora verificamos as interseções de dois a dois envolvendo A_{1}^{\complement}. Por exemplo,
P\bigl(A_{1}^{\complement}\cap A_{2}\bigr) = P(A_{2}) - P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{2}) - P(A_{1})\,P(A_{2}) = \bigl(1 - P(A_{1})\bigr)P(A_{2}) = P\bigl(A_{1}^{\complement}\bigr)\,P(A_{2}).
De modo completamente análogo,
P\bigl(A_{1}^{\complement}\cap A_{3}\bigr) = P\bigl(A_{1}^{\complement}\bigr)\,P(A_{3}).

Passo 4

Como satisfazemos
P\bigl(A_{1}^{\complement}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr) = P\bigl(A_{1}^{\complement}\bigr)\,P(A_{2})\,P(A_{3})
e também as igualdades para cada interseção de dois eventos, concluímos que A_{1}^{\complement},A_{2},A_{3} são independentes.

Passo 5

O mesmo raciocínio vale se trocarmos o complemento de A_{2}. Calculamos
P\bigl(A_{1}\cap A_{2}^{\complement}\cap A_{3}\bigr) = P\bigl(A_{1}\cap A_{3}\bigr) - P\bigl(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\bigr) = P(A_{1})\,P(A_{3}) - P(A_{1})\,P(A_{2})\,P(A_{3}) = P(A_{1})\,\bigl(1-P(A_{2})\bigr)\,P(A_{3}) = P(A_{1})\,P\bigl(A_{2}^{\complement}\bigr)\,P(A_{3}),
e de modo análogo verifica-se que
P\bigl(A_{1}\cap A_{2}^{\complement}\bigr) = P(A_{1})\,P\bigl(A_{2}^{\complement}\bigr), \quad P\bigl(A_{2}^{\complement}\cap A_{3}\bigr) = P\bigl(A_{2}^{\complement}\bigr)\,P(A_{3}).

Resposta

a) Os eventos A_{1}^{\complement},A_{2},A_{3} são independentes.
b) Da mesma forma, A_{1},A_{2}^{\complement},A_{3} também são independentes.

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