Uma amostra aleatória de 100 resistores de 100 \Omega apresenta uma resistência média de 101,2 \Omega e um desvio padrão populacional de 2 \Omega. Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a média populacional da resistência desses resistores, assumindo que a distribuição da resistência é normal. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de n=100 resistores de 100\\ \Omega com média amostral \bar x=101,2\\ \Omega e desvio padrão populacional conhecido \sigma=2\\ \Omega. Como a resistência segue distribuição normal e \sigma é conhecido, queremos construir um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Quando \sigma é conhecido e a amostra é grande (ou a população é normal), o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \alpha = 1 - 0{,}90 = 0{,}10 e z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que a área à direita seja \alpha/2.

Passo 3

Calculamos o quantil crítico da normal padrão para \alpha/2 = 0{,}05:
z_{0,05} \approx 1{,}645.

Passo 4

O erro padrão da média é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = 0{,}2\\ \Omega.
Logo, a margem de erro fica
E = z_{0,05}\times 0{,}2 \approx 1{,}645 \times 0{,}2 = 0{,}329\\ \Omega.

Passo 5

O intervalo de confiança de 90\% para \mu é
\bigl[\,\bar x - E,\;\bar x + E\,\bigr] = \bigl[\,101{,}2 - 0{,}329,\;101{,}2 + 0{,}329\,\bigr] \approx [\,100{,}87,\;101{,}53\,]\\ \Omega.

Passo 6

Interpretação: temos 90\% de confiança de que o verdadeiro valor médio da resistência dos resistores está entre 100{,}87\\ \Omega e 101{,}53\\ \Omega. Isso significa que, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes, em 90\% dos casos o intervalo calculado conteria \mu.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a média populacional é
[\,100{,}87,\;101{,}53\,]\\ \Omega.

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