Uma amostra aleatória de 15 capacitores de 10 \mu \mathrm{~F} apresentou os seguintes valores de capacitância. Os dados de valores de capacitância da amostra (em \mu \mathrm{F} ) são os seguintes:
10,1 ; 9,8 ; 10,2 ; 10,0 ; 10,3 ; 9,9 ; 10,4 ; 10,1 ; 10,0 ; 10,1 ; 10,3 ; 9,9 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,1 .
Supondo que os valores de capacitância tenham uma distribuição normal, construa e interprete:
Um intervalo de confiança de 90 \% para a capacitância média populacional desses capacitores.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra aleatória de n=15 capacitores com valores de capacitância (em \mu\mathrm{F}) e supõe distribuição normal. Pede-se um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu. Para isso, vamos precisar calcular a média amostral \overline{x}, o desvio-padrão amostral s e usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \overline{x}. Somando os valores obtemos
\sum_{i=1}^{15} x_i = 151,8
Logo,
\overline{x} = \frac{151,8}{15} = 10,12\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 3

Calcular a variância e o desvio-padrão amostral. Primeiro encontramos a soma dos quadrados dos desvios em relação a \overline{x}, que vale 0,464. Assim,
s^2 = \frac{0,464}{15-1} = \frac{0,464}{14} \approx 0,0331,
s = \sqrt{0,0331} \approx 0,182\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 4

Determinar o valor crítico t para nível de confiança 90\%. Aqui \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05, com n-1=14 graus de liberdade:
t_{0,95;\,14} \approx 1,761.
O erro padrão da média é \displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,182}{\sqrt{15}}\approx0,0470. Logo, a margem de erro é
E = 1,761 \times 0,0470 \approx 0,083\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 90\% para \mu:
\bigl[\overline{x}-E,\;\overline{x}+E\bigr] = [10,12 - 0,083,\;10,12 + 0,083] = [10,037,\;10,203]\\ \mu\mathrm{F}.
Interpretação: temos 90\% de confiança de que a verdadeira média de capacitância desses capacitores está entre 10,037 e 10,203, \mu\mathrm{F}.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a média populacional é
[10,037,\;10,203]\\ \mu\mathrm{F}.

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