Uma fábrica de biscoitos afirma que seus pacotes possuem um peso médio de 200 gramas. Para verificar essa afirmação, um fiscal da vigilância sanitária seleciona aleatoriamente 30 pacotes e os pesa. Os resultados obtidos foram:
Média amostral: \bar{x}=198,5 gramas
Desvio padrão populacional (\sigma)=3 gramas (informado pela fábrica)
Encontre:
(a) Um intervalo de confiança aproximado de 99 \% para a média do peso dos pacotes.
(b) Com base no intervalo encontrado, você pode concluir que a fábrica está cumprindo a legislação sobre peso líquido?

Passo 1

O enunciado pede para checar a afirmação de que o peso médio dos pacotes é 200 g usando uma amostra de tamanho n=30, com média amostral \bar{x}=198,5 g e desvio padrão populacional conhecido \sigma=3 g. O conteúdo aqui é construção de intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecido, usando a distribuição normal.

Passo 2

Definimos o nível de significância \alpha = 1 - 0{,}99 = 0{,}01. O valor crítico z_{\alpha/2} para \alpha/2 = 0{,}005 é aproximadamente
z_{0{,}005} = 2{,}5758.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média e a margem de erro:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{30}} \approx 0{,}5477,ã
\text{margem de erro} = z_{0{,}005}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 2{,}5758 \times 0{,}5477 \approx 1{,}41.

Passo 4

O intervalo de confiança de 99\% para a média \mu é dado por
\bar{x} \pm \text{margem de erro} \quad\Longrightarrow\quad 198{,}5 \pm 1{,}41
ou seja,
[198{,}5 - 1{,}41,\; 198{,}5 + 1{,}41] \approx [197{,}09,\; 199{,}91].

Passo 5

Como o valor 200 g não está contido no intervalo [197{,}09,\;199{,}91], concluímos que, com 99\% de confiança, a média verdadeira dos pacotes é inferior a 200 g, indicando que a fábrica não está cumprindo a legislação sobre peso líquido.

Resposta

(a) [197{,}09,\;199{,}91] g.
(b) Não. Como 200 g está fora do intervalo de confiança de 99\%, a fábrica não cumpre a legislação.

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