1-) Uma amostra aleatória de 20 elementos, selecionados de uma população normal com variância igual a 3,00 , apresentou média 50,00 . Obter um intervalo de confiança para a média considerando um nível de confiança de
. Testar com um nível de significância de
a hipótese
contra
, obter o valor-
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Tamanho da amostra:
. - Variância populacional conhecida:
. Logo o desvio padrão populacional é . - Média amostral observada:
. - Primeiro pedido: obter um intervalo de confiança para a média com nível de confiança
. - Segundo pedido: testar, ao nível de significância
, a hipótese nula
contra a alternativa
e calcular o valor-
.
Passo 2
Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Como a população é normal e a variância populacional
é conhecida, a distribuição da média amostral tem a forma
Isto significa que a média amostral varia (aleatoriamente) em torno da média verdadeira
com desvio padrão (erro padrão)
- Quando
é conhecida, para construir intervalo de confiança usamos a distribuição normal padrão e o quantil (para um intervalo bilateral com confiança ). - Para um teste bilateral de
com conhecida, o estatístico padronizado é
que segue
sob
. O valor-
bilateral é
para
(ou
se
).
Passo 3
Construindo o intervalo de confiança de
.
- Nível de confiança
implica e . - O quantil crítico da normal padrão é
. Valor tabelado:
- Calcular o erro padrão:
- Numérico:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança:
- Portanto, os limites do intervalo são
- Concluindo: o intervalo de confiança de
para é aproximadamente (arredondando a três casas decimais).
Passo 4
Realizando o teste de hipótese bilateral
vs
ao nível
.
- Estatístico de teste (uso da fórmula explicada no Passo 2):
- Calculando numericamente:
- Esse valor é muito distante de zero; para comparação, o crítico bilateral para
é . Como está muito além de , rejeitamos . - Cálculo do valor-
(bilateral). Como , o -valor é
- A probabilidade na cauda é extremamente pequena. Podemos estimar com a aproximação assintótica da cauda da normal:
- Aqui
e , assim
- Como o teste é bilateral:
- Esse
-valor é muito menor do que , logo a decisão é rejeitar com folga.
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova (curta e prática):
- O intervalo de confiança mostra que valores plausíveis para
(com 90% de confiança) estão bem próximos de 50, e não incluem . - No teste, o desvio entre a média amostral e
(diferença de ) é muito grande em unidades do erro padrão, por isso o -valor é praticamente zero e rejeitamos . - Dica: quando
é conhecida e a amostra vem de população normal, sempre use . Compute com calma e compare sempre com para testes bilaterais — é rápido e confiável na prova.
Resposta
Intervalo de confiança de
:
Decisão do teste: rejeita-se ao nível
; valor-
Decisão do teste: rejeita-se