1-) Uma amostra aleatória de 20 elementos, selecionados de uma população normal com variância igual a 3,00 , apresentou média 50,00 . Obter um intervalo de confiança para a média considerando um nível de confiança de 90 \%. Testar com um nível de significância de 10 \% a hipótese \mu=53,00 contra \mu \neq 53,00, obter o valor- p.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Variância populacional conhecida: \sigma^2=3{,}00. Logo o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{3}.
  • Média amostral observada: \bar{x}=50{,}00.
  • Primeiro pedido: obter um intervalo de confiança para a média com nível de confiança 90\%.
  • Segundo pedido: testar, ao nível de significância \alpha=0{,}10, a hipótese nula
H_0:\mu=53{,}00
contra a alternativa
H_1:\mu\neq53{,}00,
e calcular o valor- p.

Passo 2

Entendendo a ferramenta que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Como a população é normal e a variância populacional \sigma^2 é conhecida, a distribuição da média amostral tem a forma
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
Isto significa que a média amostral varia (aleatoriamente) em torno da média verdadeira \mu com desvio padrão (erro padrão)
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Quando \sigma é conhecida, para construir intervalo de confiança usamos a distribuição normal padrão e o quantil z_{1-\alpha/2} (para um intervalo bilateral com confiança 1-\alpha).
  • Para um teste bilateral de H_0:\mu=\mu_0 com \sigma conhecida, o estatístico padronizado é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
que segue N(0,1) sob H_0. O valor- p bilateral é 2\Pr(Z\le z_{\text{obs}}) para z_{\text{obs}}<0 (ou 2\Pr(Z\ge z_{\text{obs}}) se z_{\text{obs}}>0).

Passo 3

Construindo o intervalo de confiança de 90\%.
  • Nível de confiança 1-\alpha=0{,}90 implica \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05.
  • O quantil crítico da normal padrão é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}95}. Valor tabelado:
z_{0{,}95}\approx1{,}644853627.
  • Calcular o erro padrão:
\sigma=\sqrt{3},\qquad \sqrt{n}=\sqrt{20},
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{20}}=\sqrt{\frac{3}{20}}.
  • Numérico:
\text{EP}=\sqrt{0{,}15}\approx0{,}3872983346.
  • Margem de erro:
\text{ME}=z_{0{,}95}\cdot\text{EP}\approx1{,}644853627\cdot0{,}3872983346\approx0{,}63668.
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm\text{ME}=50{,}00\pm0{,}63668.
  • Portanto, os limites do intervalo são
\text{limite inferior}=50{,}00-0{,}63668\approx49{,}36332,
\text{limite superior}=50{,}00+0{,}63668\approx50{,}63668.
  • Concluindo: o intervalo de confiança de 90\% para \mu é aproximadamente \left(49{,}363,\;50{,}637\right) (arredondando a três casas decimais).

Passo 4

Realizando o teste de hipótese bilateral H_0:\mu=53{,}00 vs H_1:\mu\neq53{,}00 ao nível \alpha=0{,}10.
  • Estatístico de teste (uso da fórmula explicada no Passo 2):
Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{50{,}00-53{,}00}{\sqrt{3}/\sqrt{20}}.
  • Calculando numericamente:
\frac{50{,}00-53{,}00}{\sqrt{3}/\sqrt{20}}=\frac{-3{,}00}{0{,}3872983346}\approx-7{,}745966692.
  • Esse valor é muito distante de zero; para comparação, o crítico bilateral para \alpha=0{,}10 é \pm z_{0{,}95}\approx\pm1{,}6449. Como Z_{\text{obs}} está muito além de -1{,}6449, rejeitamos H_0.
  • Cálculo do valor- p (bilateral). Como Z_{\text{obs}}\approx-7{,}745966692, o p-valor é
p=2\Pr\big(Z\le Z_{\text{obs}}\big)=2\Pr\big(Z\le-7{,}745966692\big).
  • A probabilidade na cauda é extremamente pequena. Podemos estimar com a aproximação assintótica da cauda da normal:
\Pr(Z\le -z)\approx\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\quad\text{para }z\text{ grande}.
  • Aqui z=7{,}745966692 e z^2\approx60{,}0, assim
e^{-z^2/2}=e^{-30}\approx9{,}357622968\cdot10^{-14}.
\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}\approx\frac{1}{7{,}745966692\cdot2{,}506628275}\approx0{,}051535.
\Pr(Z\le-7{,}745966692)\approx0{,}051535\cdot9{,}3576\cdot10^{-14}\approx4{,}819\times10^{-15}.
  • Como o teste é bilateral:
p\approx2\cdot4{,}819\times10^{-15}\approx9{,}638\times10^{-15}.
  • Esse p-valor é muito menor do que \alpha=0{,}10, logo a decisão é rejeitar H_0 com folga.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova (curta e prática):
  • O intervalo de confiança mostra que valores plausíveis para \mu (com 90% de confiança) estão bem próximos de 50, e não incluem 53.
  • No teste, o desvio entre a média amostral e 53 (diferença de -3) é muito grande em unidades do erro padrão, por isso o p-valor é praticamente zero e rejeitamos H_0.
  • Dica: quando \sigma é conhecida e a amostra vem de população normal, sempre use Z. Compute \text{EP}=\sigma/\sqrt{n} com calma e compare sempre |Z_{\text{obs}}| com z_{1-\alpha/2} para testes bilaterais — é rápido e confiável na prova.

Resposta

Intervalo de confiança de 90\%: \left(49{,}363,\;50{,}637\right)
Decisão do teste: rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}10; valor- p\approx9{,}64\times10^{-15}

Exercícios relacionados