Sejam X_{1}, \cdots, X_{16} uma A.A.S. extraída de uma população N(0,1). Se \bar{X} é a média amostral e S^{2} a variância amostral, calcular:
P\left(0,0645 \leqslant \frac{\bar{X}}{S} \leqslant 1,01825\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Foram obtidas n=16 observações X_{1},\dots,X_{16} i.i.d. de uma população N(0,1).
  • A média amostral é \bar{X} e a variância amostral é S^{2} (a fórmula usual é S^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}).
  • Pedem calcular a probabilidade
P\!\left(0,0645 \leqslant \frac{\bar{X}}{S} \leqslant 1,01825\right).
Esses são todos os dados do problema.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado central (vou explicar o porquê): para uma amostra normal N(\mu,\sigma^{2}) com média amostral \bar{X} e variância amostral S^{2}, a estatística
T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade. No nosso caso \mu=0 e \sigma^{2}=1, logo
T=\frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}.
Por que isso vale (resumido de forma didática)?
  • \bar{X} é normal: \bar{X}\sim N\!\left(0,\dfrac{1}{n}\right) porque cada X_i tem variância 1.
  • A quantidade (n-1)S^{2}=\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} tem distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.
  • Para amostra normal, \bar{X} e S^{2} são independentes.
  • Com essas três propriedades, a razão acima tem a lei t_{\,n-1}.

Passo 3

Agora manipulo a quantidade que aparece na probabilidade. Observa que
\frac{\bar{X}}{S}=\frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{T}{\sqrt{n}}.
Portanto
P\!\left(0,0645 \leqslant \frac{\bar{X}}{S} \leqslant 1,01825\right) = P\!\left(0,0645 \leqslant \frac{T}{\sqrt{n}} \leqslant 1,01825\right).
Como \sqrt{n}=\sqrt{16}=4, multiplico os extremos por 4:
P\!\left(0,0645 \leqslant \frac{\bar{X}}{S} \leqslant 1,01825\right) = P\!\left(0,0645\cdot 4 \leqslant T \leqslant 1,01825\cdot 4\right) = P\!\left(0,258 \leqslant T \leqslant 4,073\right),
onde T\sim t_{15} (graus de liberdade n-1=15).

Passo 4

Agora avaliamos a probabilidade com a distribuição t_{15}. Escrevo em termos das funções de cauda porque é prático com tabelas:
P\!\left(0,258 \leqslant T \leqslant 4,073\right) = F_{t_{15}}(4,073)-F_{t_{15}}(0,258),
onde F_{t_{15}} é a função de distribuição acumulada da t_{15}.
Usando tabelas (ou uma calculadora estatística) para t_{15}:
  • A probabilidade da cauda superior em t=0,258 é aproximadamente P(T>0,258)\approx 0,399. Então F_{t_{15}}(0,258)=1-0,399=0,601.
    (Explicação: para valores pequenos de t a direita a área é grande; tabelas de t ou aproximação normal dão P(T>0,258)\approx0,399.)
  • A probabilidade da cauda superior em t=4,073 é muito pequena; consultando a tabela encontra-se aproximadamente P(T>4,073)\approx 0,0005. Assim F_{t_{15}}(4,073)=1-0,0005=0,9995.
    (Explicação: tabelas de t_{15} mostram valores críticos como t_{15,\,0,999}\approx 3,733 e t_{15,\,0,9995}\approx 4,073, o que corresponde à cauda superior 0,0005.)

Passo 5

Substituindo esses valores:
P\!\left(0,258 \leqslant T \leqslant 4,073\right) = F_{t_{15}}(4,073)-F_{t_{15}}(0,258) = (1-0,0005)-(1-0,399) =0,399-0,0005=0,3985.
Arredondando razoavelmente, a probabilidade é aproximadamente 0,3985. Dá para interpretar: cerca de 39{,}85\% das amostras satisfazem a desigualdade pedida.

Resposta

0,3985

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