Sejam
uma A.A.S. extraída de uma população
. Se
é a média amostral e
a variância amostral, calcular:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Foram obtidas
observações i.i.d. de uma população . - A média amostral é
e a variância amostral é (a fórmula usual é ). - Pedem calcular a probabilidade
Esses são todos os dados do problema.
Passo 2
Vamos lembrar um resultado central (vou explicar o porquê): para uma amostra normal
com média amostral
e variância amostral
, a estatística
segue uma distribuição
com
graus de liberdade. No nosso caso
e
, logo
Por que isso vale (resumido de forma didática)?
-
é normal: porque cada tem variância . - A quantidade
tem distribuição com graus de liberdade. - Para amostra normal,
e são independentes. - Com essas três propriedades, a razão acima tem a lei
.
Passo 3
Agora manipulo a quantidade que aparece na probabilidade. Observa que
Portanto
Como
, multiplico os extremos por
:
onde
(graus de liberdade
).
Passo 4
Agora avaliamos a probabilidade com a distribuição
. Escrevo em termos das funções de cauda porque é prático com tabelas:
onde
é a função de distribuição acumulada da
.
Usando tabelas (ou uma calculadora estatística) para :
Usando tabelas (ou uma calculadora estatística) para
- A probabilidade da cauda superior em
é aproximadamente . Então .
(Explicação: para valores pequenos dea direita a área é grande; tabelas de ou aproximação normal dão .) - A probabilidade da cauda superior em
é muito pequena; consultando a tabela encontra-se aproximadamente . Assim .
(Explicação: tabelas demostram valores críticos como e , o que corresponde à cauda superior .)
Passo 5
Substituindo esses valores:
Arredondando razoavelmente, a probabilidade é aproximadamente
. Dá para interpretar: cerca de
das amostras satisfazem a desigualdade pedida.