Com o objetivo de avaliar se determinado produto químico é eficiente para repelir insetos domésticos, foi realizada uma contagem do número de insetos, antes e após a aplicação deste produto químico, em 7 residências. Considerando um nível de 5 \% de probabilidade, é possível concluir, em termos médios, que o produto utilizado é eficiente para repelir insetos?
Residência
1
2
3
4
5
6
7
Antes
8
6
7
8
9
6
7
Após
4
0
3
5
3
4
2
Passo 1
O enunciado pede para verificar, ao nível de significância de 5\%, se o produto é eficiente para repelir insetos em termos médios — ou seja, se houve redução média no número de insetos após a aplicação. As informações dadas (contadas da tabela) são:
Número de residências: n=7.
Contagens antes e após em cada residência (peguei estes números do enunciado):
Residência 1: Antes 8, Após 4
Residência 2: Antes 6, Após 0
Residência 3: Antes 7, Após 3
Residência 4: Antes 8, Após 5
Residência 5: Antes 9, Após 3
Residência 6: Antes 6, Após 4
Residência 7: Antes 7, Após 2
Pergunta a responder: com \alpha=0,05, há evidência de que, em média, o produto reduz o número de insetos (teste unilaterial para redução)?
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): como as medidas antes e após foram feitas nas mesmas residências, os dados são pareados. O teste apropriado para comparar médias pareadas, quando se assume que as diferenças seguem aproximadamente uma distribuição normal, é o teste t pareado (teste t para diferenças). Vou usar esse teste porque ele é padrão para comparar médias de amostras dependentes e é prático com n=7.
Breve explicação do teste t pareado (aula rápida):
Definimos as diferenças por residência: d_i = (\text{Antes})_i - (\text{Após})_i. Se o produto for eficiente, esperamos \mu_d>0, onde \mu_d é a média populacional das diferenças.
H_1:\\ \mu_d > 0 \qquad\text{(redução média positiva; produto é eficiente)}
Estatística de teste:t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}},onde:
\bar d é a média amostral das diferenças,
s_d é o desvio-padrão amostral das diferenças,
n é o número de pares (aqui n=7).
Sob H_0, t segue aproximadamente a distribuição t com n-1 graus de liberdade (aqui 6 gl). Rejeitamos H_0 se t for maior que o valor crítico t_{1-\alpha,\,n-1}.
Passo 3
Calcular as diferenças d_i e a média amostral \bar d. Peguei os valores “Antes” e “Após” da tabela do enunciado.
Soma das diferenças:\sum_{i=1}^{7} d_i = 4+6+4+3+6+2+5 = 30.
Média amostral das diferenças:\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i = \frac{30}{7} \approx 4,2857.
Explicação didática rápida: \bar d é a estimativa da redução média de insetos por residência. Aqui obtemos aproximadamente 4,29 insetos a menos, em média.
Passo 4
Calcular o desvio-padrão amostral s_d das diferenças (vou mostrar duas formas; usarei a forma que evita muito arredondamento).
Interpretação: quanto maior t positivo, maior a evidência contra H_0 na direção de \mu_d>0.
Passo 6
Determinar o valor crítico e decidir:
Graus de liberdade: n-1 = 6.
Para um teste unilateral à direita com nível \alpha=0,05, o valor crítico é t_{1-\alpha,\,6} = t_{0,95,6}. Pela tabela da t-Student:t_{0,95,6} \approx 1,943.
Comparação: t \approx 7,58 é muito maior que 1,943. Portanto rejeitamos H_0.
Sobre o p-valor (para intuir a força da evidência): para t\approx 7,58 com 6 gl, o p-valor unilaterial é extremamente pequeno (muito menor que 0,001), indicando forte evidência contra H_0.
Passo 7
Conclusão estatística e interpretação prática:
Rejeitamos H_0 ao nível de significância de 5\%. Há evidência estatística suficiente para afirmar que a média das diferenças é maior que zero, isto é, que o número médio de insetos diminuiu após a aplicação do produto.
Interpretação prática: nas 7 residências amostradas, a redução média observada foi de aproximadamente \bar d \approx 4,29 insetos por residência, com evidência estatística forte de que essa redução não é explicada pelo acaso.
Observação didática e caveat: o teste t pareado assume que as diferenças d_i são aproximadamente normalmente distribuídas. Com n=7 isso é uma suposição forte; porém, as diferenças aqui são razoavelmente simétricas e o resultado é muito significativo. Se houver preocupação com normalidade (por exemplo, dados de contagem muito assimétricos), poderia-se também aplicar um teste não paramétrico pareado, como o teste de sinais ou o teste de postos sinalizados de Wilcoxon, mas com uma estatística tão grande a conclusão provavelmente seria a mesma.
Resposta
Sim — há evidência estatística ao nível de 5\% de que o produto reduz, em média, o número de insetos.