Com o objetivo de avaliar se determinado produto químico é eficiente para repelir insetos domésticos, foi realizada uma contagem do número de insetos, antes e após a aplicação deste produto químico, em 7 residências. Considerando um nível de 5 \% de probabilidade, é possível concluir, em termos médios, que o produto utilizado é eficiente para repelir insetos?
Residência 1 2 3 4 5 6 7
Antes 8 6 7 8 9 6 7
Após 4 0 3 5 3 4 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar, ao nível de significância de 5\%, se o produto é eficiente para repelir insetos em termos médios — ou seja, se houve redução média no número de insetos após a aplicação. As informações dadas (contadas da tabela) são:
  • Número de residências: n=7.
  • Contagens antes e após em cada residência (peguei estes números do enunciado):
    • Residência 1: Antes 8, Após 4
    • Residência 2: Antes 6, Após 0
    • Residência 3: Antes 7, Após 3
    • Residência 4: Antes 8, Após 5
    • Residência 5: Antes 9, Após 3
    • Residência 6: Antes 6, Após 4
    • Residência 7: Antes 7, Após 2
Pergunta a responder: com \alpha=0,05, há evidência de que, em média, o produto reduz o número de insetos (teste unilaterial para redução)?

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): como as medidas antes e após foram feitas nas mesmas residências, os dados são pareados. O teste apropriado para comparar médias pareadas, quando se assume que as diferenças seguem aproximadamente uma distribuição normal, é o teste t pareado (teste t para diferenças). Vou usar esse teste porque ele é padrão para comparar médias de amostras dependentes e é prático com n=7.
Breve explicação do teste t pareado (aula rápida):
  • Definimos as diferenças por residência: d_i = (\text{Antes})_i - (\text{Após})_ió. Se o produto for eficiente, esperamos \mu_d>0, onde \mu_d é a média populacional das diferenças.
  • Hipóteses: H_0:\\ \mu_d = 0 \qquad\text{(nenhuma redução média)}çãé
H_1:\\ \mu_d > 0 \qquad\text{(redução média positiva; produto é eficiente)}çãéé
  • Estatística de teste: t = \frac{\bar d - 0}{s_d/\sqrt{n}},onde:
    • \bar d é a média amostral das diferenças,
    • s_d é o desvio-padrão amostral das diferenças,
    • n é o número de pares (aqui n=7).
  • Sob H_0, t segue aproximadamente a distribuição t com n-1 graus de liberdade (aqui 6 gl). Rejeitamos H_0 se t for maior que o valor crítico t_{1-\alpha,\,n-1}.

Passo 3

Calcular as diferenças d_i e a média amostral \bar d. Peguei os valores “Antes” e “Após” da tabela do enunciado.
  • Cálculo das diferenças: \begin{aligned} d_1 &= 8-4 = 4,\\\ d_2 &= 6-0 = 6,\\\ d_3 &= 7-3 = 4,\\\ d_4 &= 8-5 = 3,\\\ d_5 &= 9-3 = 6,\\\ d_6 &= 6-4 = 2,\\\ d_7 &= 7-2 = 5. \end{aligned}
  • Soma das diferenças: \sum_{i=1}^{7} d_i = 4+6+4+3+6+2+5 = 30.
  • Média amostral das diferenças: \bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i = \frac{30}{7} \approx 4,2857.
Explicação didática rápida: \bar d é a estimativa da redução média de insetos por residência. Aqui obtemos aproximadamente 4,29 insetos a menos, em média.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral s_d das diferenças (vou mostrar duas formas; usarei a forma que evita muito arredondamento).
Forma direta (fórmula):
s_d = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(d_i - \bar d)^2}.
Cálculo prático usando identidade \sum(d_i-\bar d)^2 = \sum d_i^2 - n\bar d^2:
  • Primeiro, \sum d_i^2: \sum_{i=1}^{7} d_i^2 = 4^2+6^2+4^2+3^2+6^2+2^2+5^2 = 16+36+16+9+36+4+25 = 142.
  • Então: \sum_{i=1}^{7}(d_i-\bar d)^2 = 142 - 7\left(\frac{30}{7}\right)^2 = 142 - \frac{6300}{49} = 13,428571\ldots
  • Variância amostral: s_d^2 = \frac{13,428571\ldots}{n-1} = \frac{13,428571\ldots}{6} \approx 2,238095.
  • Desvio-padrão: s_d \approx \sqrt{2,238095} \approx 1,4960.
Explicação: s_d mede a variabilidade das diferenças entre residências. Aqui a variabilidade é relativamente baixa comparada à média das diferenças.

Passo 5

Calcular a estatística t e o erro padrão:
  • Erro padrão da média das diferenças: \text{SE} = \frac{s_d}{\sqrt{n}} \approx \frac{1,4960}{\sqrt{7}} \approx 0,5655.
  • Estatística t: t = \frac{\bar d}{\text{SE}} \approx \frac{4,285714}{0,5655} \approx 7,58.
Interpretação: quanto maior t positivo, maior a evidência contra H_0 na direção de \mu_d>0.

Passo 6

Determinar o valor crítico e decidir:
  • Graus de liberdade: n-1 = 6.
  • Para um teste unilateral à direita com nível \alpha=0,05, o valor crítico é t_{1-\alpha,\,6} = t_{0,95,6}. Pela tabela da t-Student: t_{0,95,6} \approx 1,943.
  • Comparação: t \approx 7,58 é muito maior que 1,943. Portanto rejeitamos H_0.
Sobre o p-valor (para intuir a força da evidência): para t\approx 7,58 com 6 gl, o p-valor unilaterial é extremamente pequeno (muito menor que 0,001), indicando forte evidência contra H_0.

Passo 7

Conclusão estatística e interpretação prática:
  • Rejeitamos H_0 ao nível de significância de 5\%. Há evidência estatística suficiente para afirmar que a média das diferenças é maior que zero, isto é, que o número médio de insetos diminuiu após a aplicação do produto.
  • Interpretação prática: nas 7 residências amostradas, a redução média observada foi de aproximadamente \bar d \approx 4,29 insetos por residência, com evidência estatística forte de que essa redução não é explicada pelo acaso.
Observação didática e caveat: o teste t pareado assume que as diferenças d_i são aproximadamente normalmente distribuídas. Com n=7 isso é uma suposição forte; porém, as diferenças aqui são razoavelmente simétricas e o resultado é muito significativo. Se houver preocupação com normalidade (por exemplo, dados de contagem muito assimétricos), poderia-se também aplicar um teste não paramétrico pareado, como o teste de sinais ou o teste de postos sinalizados de Wilcoxon, mas com uma estatística tão grande a conclusão provavelmente seria a mesma.

Resposta

Sim — há evidência estatística ao nível de 5\% de que o produto reduz, em média, o número de insetos.

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