Uma amostra aleatória da distribuição
foi obtida, sendo observados os valores:
Estime o valor de
pelo método dos momentos. Com base nesse resultado, a estimativa faz sentido considerando que o máximo valor observado foi 4,80 ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se: estimar o valor de
pelo método dos momentos e responder se essa estimativa faz sentido considerando que o maior valor observado foi . - Observações (peguei estes números do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Máximo observado na amostra:
.
Passo 2
Definição do estimador pelo método dos momentos: primeiro momento amostral.
- Definimos a média amostral
por
onde
são as observações e
é o número de observações. Aqui
.
Passo 3
Valor esperado (teórico) de uma v.a.
.
- A densidade da distribuição uniforme no intervalo
é para . - O valor esperado é
- Ou seja, a média teórica da distribuição é
.
Passo 4
Aplicando o método dos momentos: igualar a média amostral à média teórica.
- Pelo método dos momentos, faz-se
. - Desse равcimento obtemos o estimador pelo método dos momentos:
- Aqui
é a estimativa de obtida pelo método dos momentos. Cada símbolo: -
é a média amostral calculada a partir dos . -
é o estimador que queremos computar.
-
Passo 5
Calcular numericamente a média amostral e a estimativa.
- Primeiro somamos as observações:
- A média amostral é
- Portanto a estimativa pelo método dos momentos é
Passo 6
Interpretação: faz sentido a estimativa ser maior que o máximo observado
?
- É perfeitamente possível (e muitas vezes esperado) que a estimativa de
seja maior que o maior valor observado, porque é o limite superior da distribuição verdadeira e a amostra pode não ter atingido esse limite. - Para comparação rápida com outros estimadores comuns:
- O estimador de máxima verossimilhança (MLE) para
é o máximo amostral:
Este é enviesado para baixo. - Um estimador não enviesado baseado no máximo amostral é
- O estimador de máxima verossimilhança (MLE) para
- Comparando numericamente:
A estimativa pelo método dos momentos fica entre a MLE (4,80) e o estimador corrigido não enviesado (5,28), portanto é coerente e razoável. - Observação sobre propriedades: para
tem-se , então é, de fato, um estimador não enviesado de e é consistente quando . Com ainda há variabilidade, mas o resultado é plausível.
Passo 7
Resumo final e incentivo.
- Fiz passo a passo: calculei a média amostral, usei
e obtive . O valor é maior que o máximo observado , o que faz sentido estatisticamente (a amostra pode não ter registrado o verdadeiro limite superior). Com amostras pequenas há mais incerteza, mas o resultado está consistente com outros estimadores razoáveis.
Resposta
Sim — faz sentido: a estimativa pode ser maior que o maior valor observado; por comparação,