Uma amostra aleatória da distribuição \operatorname{Uniforme}(0, \theta) foi obtida, sendo observados os valores:
3,05 \quad 2,03 \quad 3,63 \quad 0,18 \quad 4,57 \quad 0,66 \quad 4,51 \quad 0,83 \quad 1,70 \quad 4,80
Estime o valor de \theta pelo método dos momentos. Com base nesse resultado, a estimativa faz sentido considerando que o máximo valor observado foi 4,80 ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se: estimar o valor de \theta pelo método dos momentos e responder se essa estimativa faz sentido considerando que o maior valor observado foi 4,80.
  • Observações (peguei estes números do enunciado): 3,05,\; 2,03,\; 3,63,\; 0,18,\; 4,57,\; 0,66,\; 4,51,\; 0,83,\; 1,70,\; 4,80.
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Máximo observado na amostra: \max x_i = 4,80.

Passo 2

Definição do estimador pelo método dos momentos: primeiro momento amostral.
  • Definimos a média amostral \bar{X} por
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,
onde X_1,\dots,X_n são as observações e n é o número de observações. Aqui n=10.

Passo 3

Valor esperado (teórico) de uma v.a. \operatorname{Uniforme}(0,\theta).
  • A densidade da distribuição uniforme no intervalo [0,\theta] é f(x)=\dfrac{1}{\theta} para 0\le x\le\theta.
  • O valor esperado é
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\theta} x\cdot \frac{1}{\theta}\,dx = \frac{1}{\theta}\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta}{2}.
  • Ou seja, a média teórica da distribuição é \dfrac{\theta}{2}.

Passo 4

Aplicando o método dos momentos: igualar a média amostral à média teórica.
  • Pelo método dos momentos, faz-se \bar{X}=\mathbb{E}[X]=\dfrac{\theta}{2}.
  • Desse равcimento obtemos o estimador pelo método dos momentos:
\hat{\theta}_{\text{MM}} = 2\,\bar{X}.
  • Aqui \hat{\theta}_{\text{MM}} é a estimativa de \theta obtida pelo método dos momentos. Cada símbolo:
    • \bar{X} é a média amostral calculada a partir dos X_i.
    • \hat{\theta}_{\text{MM}} é o estimador que queremos computar.

Passo 5

Calcular numericamente a média amostral e a estimativa.
  • Primeiro somamos as observações:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 3,05+2,03+3,63+0,18+4,57+0,66+4,51+0,83+1,70+4,80 = 25,96.
  • A média amostral é
\bar{X}=\frac{25,96}{10}=2,596.
  • Portanto a estimativa pelo método dos momentos é
\hat{\theta}_{\text{MM}} = 2\cdot 2,596 = 5,192.

Passo 6

Interpretação: faz sentido a estimativa ser maior que o máximo observado 4,80?
  • É perfeitamente possível (e muitas vezes esperado) que a estimativa de \theta seja maior que o maior valor observado, porque \theta é o limite superior da distribuição verdadeira e a amostra pode não ter atingido esse limite.
  • Para comparação rápida com outros estimadores comuns:
    • O estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \theta é o máximo amostral:
    \hat{\theta}_{\text{MLE}} = \max X_i = 4,80.Este \hat{\theta}_{\text{MLE}} é enviesado para baixo.
    • Um estimador não enviesado baseado no máximo amostral é
    \hat{\theta}_{\text{corr}} = \frac{n+1}{n}\max X_i = \frac{11}{10}\cdot 4,80 = 5,28.
  • Comparando numericamente: \hat{\theta}_{\text{MM}} = 5,192,\quad \hat{\theta}_{\text{corr}} = 5,280,\quad \hat{\theta}_{\text{MLE}} = 4,80.A estimativa pelo método dos momentos fica entre a MLE (4,80) e o estimador corrigido não enviesado (5,28), portanto é coerente e razoável.
  • Observação sobre propriedades: para \operatorname{Uniforme}(0,\theta) tem-se \mathbb{E}[\bar{X}]=\theta/2, então 2\bar{X} é, de fato, um estimador não enviesado de \theta e é consistente quando n\to\infty. Com n=10 ainda há variabilidade, mas o resultado é plausível.

Passo 7

Resumo final e incentivo.
  • Fiz passo a passo: calculei a média amostral, usei \mathbb{E}[X]=\theta/2 e obtive \hat{\theta}_{\text{MM}}=5,192. O valor é maior que o máximo observado 4,80, o que faz sentido estatisticamente (a amostra pode não ter registrado o verdadeiro limite superior). Com amostras pequenas há mais incerteza, mas o resultado está consistente com outros estimadores razoáveis.

Resposta

\hat{\theta}_{\text{MM}}=5,192.
Sim — faz sentido: a estimativa pode ser maior que o maior valor observado; por comparação, \hat{\theta}_{\text{MLE}}=4,80 e o estimador não enviesado baseado no máximo é \dfrac{n+1}{n}\max X_i=5,280.

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