Em sete segundas-feiras consecutivas foram registrados 0,1,3,4,5,2 e 1 acidentes em um cruzamento de duas vias. Assumindo que o número de acidentes segue uma distribuição de Poisson:
(a) Estime o parâmetro \lambda pelo método dos momentos.
(b) Qual a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) neste cruzamento na próxima segunda-feira?

Passo 1

O enunciado dá os números de acidentes em sete segundas-feiras consecutivas: 0,1,3,4,5,2,1. As perguntas são:
(a) Estimar o parâmetro \lambda da distribuição de Poisson pelo método dos momentos.
(b) Usando essa estimativa, calcular a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) na próxima segunda-feira, ou seja \mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3) onde X é Poisson com o \lambda estimado.
Informações relevantes dadas: os 7 valores observados acima e a suposição de que o número de acidentes segue \emph{Poisson}.

Passo 2

Conceito do método dos momentos (muito prático aqui): a ideia é igualar o primeiro momento amostral (a média amostral) ao primeiro momento teórico da distribuição. Para a distribuição de Poisson o momento teórico (a esperança) é
\mathbb{E}[X]=\lambda.
A média amostral é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são os dados observados. Pelo método dos momentos, o estimador pelo primeiro momento é
\hat{\lambda}_{MM}=\bar{X}.
Explicando símbolos: n = tamanho da amostra (aqui n=7), x_i são os acidentes observados em cada segunda-feira, \bar{X} é a média desses x_i. Então para obter \hat{\lambda}_{MM} basta calcular a média dos dados.

Passo 3

Calcular a média amostral passo a passo. Somando os dados:
0+1+3+4+5+2+1 = 16.
O tamanho da amostra é n=7. Logo a média amostral é
\bar{X}=\frac{16}{7}.
Como número decimal,
\bar{X}=\frac{16}{7}\approx 2,285714\ldots
(isto é, aproximadamente 2{,}2857). Esse é o valor que o método dos momentos dá para \lambda.

Passo 4

Concluir a parte (a): pelo método dos momentos
\hat{\lambda}_{MM}=\bar{X}=\frac{16}{7}\approx 2{,}2857.
Interpretação rápida: a melhor estimativa de \lambda com esse método é a média observada de acidentes por segunda-feira.

Passo 5

Agora a parte (b): probabilidade para Poisson. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é
\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
Queremos
\mathbb{P}(2\le X\le 3)=\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3).
Substituindo \lambda pelo estimador \hat{\lambda}=\dfrac{16}{7} obtemos expressões exatas:
\mathbb{P}(X=2)=e^{-16/7}\frac{(16/7)^{2}}{2!}=e^{-16/7}\frac{256}{98}=e^{-16/7}\frac{128}{49},
\mathbb{P}(X=3)=e^{-16/7}\frac{(16/7)^{3}}{3!}=e^{-16/7}\frac{4096}{2058}.
Portanto
\mathbb{P}(2\le X\le 3)=e^{-16/7}\!\left(\frac{128}{49}+\frac{4096}{2058}\right).

Passo 6

Cálculo numérico aproximado (passos para fazer sem pular contas): primeiro estimar e^{-16/7}. Note que 16/7\approx 2{,}285714 e que e^{-2{,}302585}=10^{-1}=0{,}1 (porque 2{,}302585\approx\ln 10). Assim e^{-2{,}285714}=e^{-2{,}302585+0{,}016871}\approx 0{,}1\cdot e^{0{,}016871}. Como e^{x}\approx 1+x+\tfrac{x^{2}}{2} para x pequeno, e^{0{,}016871}\approx 1+0{,}016871+0{,}000142\approx 1{,}01701. Logo
e^{-16/7}\approx 0{,}1\times 1{,}01701\approx 0{,}101701.
Agora calcule \mathbb{P}(X=2) e \mathbb{P}(X=3) usando os numeradores já simplificados:
\lambda^{2}=\frac{256}{49}\approx 5{,}224489,\qquad \lambda^{3}=\frac{4096}{343}\approx 11{,}939059.
Assim
\mathbb{P}(X=2)=e^{-16/7}\frac{256}{98}=e^{-16/7}\times\frac{128}{49}\approx 0{,}101701\times 2{,}612245\approx 0{,}26567,
\mathbb{P}(X=3)=e^{-16/7}\frac{4096}{2058}\approx 0{,}101701\times 1{,}99028\approx 0{,}20242.
Somando,
\mathbb{P}(2\le X\le 3)\approx 0{,}26567+0{,}20242\approx 0{,}46809\approx 0{,}4681.
Comentário encorajador: dá para manter os passos organizados na prova (calcular a média, escrever a pmf da Poisson, substituir \lambda e calcular termo a termo). Se houver calculadora, basta inserir e^{-16/7} e as potências para obter o valor final mais facilmente.

Resposta

(a) \hat{\lambda}_{MM}=\dfrac{16}{7}\approx 2{,}2857
(b) \mathbb{P}(2\le X\le 3)\approx 0{,}4681

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