Em sete segundas-feiras consecutivas foram registrados
e 1 acidentes em um cruzamento de duas vias. Assumindo que o número de acidentes segue uma distribuição de Poisson:
(a) Estime o parâmetro
pelo método dos momentos.
(b) Qual a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) neste cruzamento na próxima segunda-feira?
(a) Estime o parâmetro
(b) Qual a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) neste cruzamento na próxima segunda-feira?
Passo 1
O enunciado dá os números de acidentes em sete segundas-feiras consecutivas:
. As perguntas são:
(a) Estimar o parâmetro da distribuição de Poisson pelo método dos momentos.
(b) Usando essa estimativa, calcular a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) na próxima segunda-feira, ou seja onde
é Poisson com o
estimado.
(a) Estimar o parâmetro
(b) Usando essa estimativa, calcular a probabilidade estimada de ocorrerem entre 2 e 3 acidentes (inclusive) na próxima segunda-feira, ou seja
Informações relevantes dadas: os 7 valores observados acima e a suposição de que o número de acidentes segue \emph{Poisson}.
Passo 2
Conceito do método dos momentos (muito prático aqui): a ideia é igualar o primeiro momento amostral (a média amostral) ao primeiro momento teórico da distribuição. Para a distribuição de Poisson o momento teórico (a esperança) é
A média amostral é
onde
é o número de observações e
são os dados observados. Pelo método dos momentos, o estimador pelo primeiro momento é
Explicando símbolos:
= tamanho da amostra (aqui
),
são os acidentes observados em cada segunda-feira,
é a média desses
. Então para obter
basta calcular a média dos dados.
Passo 3
Calcular a média amostral passo a passo. Somando os dados:
O tamanho da amostra é
. Logo a média amostral é
Como número decimal,
(isto é, aproximadamente
). Esse é o valor que o método dos momentos dá para
.
Passo 4
Concluir a parte (a): pelo método dos momentos
Interpretação rápida: a melhor estimativa de
com esse método é a média observada de acidentes por segunda-feira.
Passo 5
Agora a parte (b): probabilidade para Poisson. A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é
Queremos
Substituindo
pelo estimador
obtemos expressões exatas:
Portanto
Passo 6
Cálculo numérico aproximado (passos para fazer sem pular contas): primeiro estimar
. Note que
e que
(porque
). Assim
. Como
para
pequeno,
. Logo
Agora calcule
e
usando os numeradores já simplificados:
Assim
Somando,
Comentário encorajador: dá para manter os passos organizados na prova (calcular a média, escrever a pmf da Poisson, substituir
e calcular termo a termo). Se houver calculadora, basta inserir
e as potências para obter o valor final mais facilmente.
Resposta
(a)
(b)
(b)