Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória a partir da f.d.p. f(x)=\theta x^{-2}, para 0<\theta \leq x<\infty. Encontre o estimador do método dos momentos para \theta.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra X_{1},\dots,X_{n} com f.d.p.
A integral \int_{\theta}^{\infty} x^{-1}\,dx=\big[ \ln x \big]_{\theta}^{\infty}=\infty. Portanto
\mathbb{E}[X]=\infty.
Conclusão importante: o primeiro momento cru é infinito, logo não é possível aplicar o método dos momentos usando \overline{X} (não há igualdade finita \overline{X}=\mathbb{E}[X]). Ou seja, o MM tradicional baseado em \mathbb{E}[X] falha aqui.
Passo 4
Quando o primeiro momento cru não existe, uma estratégia válida (e comum) é escolher outra função g(X) cuja expectativa exista e que dependa de \theta. Procuramos a menor escolha simples cuja esperança seja finita e fácil de manipular. Uma escolha natural e simples é
g(X)=\frac{1}{X},
isto é, usar o momento negativo de ordem 1. Definimos a média amostral correspondente
Portanto a esperança de 1/X é finita e igual a 1/(2\theta).
Passo 6
Aplicando o método dos momentos com g(X)=1/X: igualamos a média amostral \overline{X^{-1}} à esperança teórica \mathbb{E}[1/X],
\overline{X^{-1}}=\frac{1}{2\theta}.
Resolvendo para \theta,
\theta=\frac{1}{2\,\overline{X^{-1}}}.
Esse é o estimador pelo método dos momentos usando o momento \mathbb{E}[X^{-1}]. Explicando a notação: \overline{X^{-1}}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{-1}.
Passo 7
Comentários didáticos e intuitivos:
Justificativa da escolha de 1/X: o método dos momentos permite usar qualquer momento finito (puro ou de uma transformação g(X)). Como o momento cru de ordem 1 diverge, escolheu-se o momento de ordem -1 por ser simples e ter esperança finita que depende de \theta de maneira explícita e simples.
Propriedades intuitivas: por Lei dos Grandes Números, \overline{X^{-1}} converge a \mathbb{E}[1/X]=1/(2\theta) quando n\to\infty, então o estimador \widehat{\theta}_{MM}=1/(2\overline{X^{-1}}) é consistente (converge em probabilidade para \theta).
Obs.: Outra alternativa válida seria usar g(X)=\ln X. Para esta distribuição verifica-se que \mathbb{E}[\ln X]=\ln\theta+1, e então igualando a média amostral de \ln X obter-se-ia o estimador \widehat{\theta}=\exp\!\big(\overline{\ln X}-1\big). Essa é outra forma do método dos momentos (usando momento logaritmo).