Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória a partir da f.d.p. f(x)=\theta x^{-2}, para 0<\theta \leq x<\infty. Encontre o estimador do método dos momentos para \theta.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra X_{1},\dots,X_{n} com f.d.p.
f(x)=\theta x^{-2},\qquad \theta\le x<\infty,\;0<\theta.
O que se pede: encontrar o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro \theta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é suportada em [\,\theta,\infty).
  • O parâmetro desconhecido é \theta (limite inferior da distribuição).
  • Temos uma amostra aleatória de tamanho n, X_1,\dots,X_n.

Passo 2

Relembrando o princípio do método dos momentos (MM), de forma informal e prática:
  • Escolhe-se uma função g(X) (normalmente g(X)=X para o primeiro momento cru) cuja esperança teórica \mathbb{E}[g(X)] dependa de \theta.
  • Calcula-se a média amostral de g(X), isto é \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_i).
  • Igualam-se a média amostral e a esperança teórica e resolvem-se para \theta.
O procedimento mais óbvio é tentar usar o primeiro momento cru g(X)=X. Definimos a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
e calcular a esperança teórica \mathbb{E}[X].

Passo 3

Calcular \mathbb{E}[X] para ver se dá para usar g(X)=X. Por definição,
\mathbb{E}[X]=\int_{\theta}^{\infty} x\, f(x)\,dx =\int_{\theta}^{\infty} x\cdot \theta x^{-2}\,dx =\theta\int_{\theta}^{\infty} x^{-1}\,dx.
A integral \int_{\theta}^{\infty} x^{-1}\,dx=\big[ \ln x \big]_{\theta}^{\infty}=\infty. Portanto
\mathbb{E}[X]=\infty.
Conclusão importante: o primeiro momento cru é infinito, logo não é possível aplicar o método dos momentos usando \overline{X} (não há igualdade finita \overline{X}=\mathbb{E}[X]). Ou seja, o MM tradicional baseado em \mathbb{E}[X] falha aqui.

Passo 4

Quando o primeiro momento cru não existe, uma estratégia válida (e comum) é escolher outra função g(X) cuja expectativa exista e que dependa de \theta. Procuramos a menor escolha simples cuja esperança seja finita e fácil de manipular. Uma escolha natural e simples é
g(X)=\frac{1}{X},
isto é, usar o momento negativo de ordem 1. Definimos a média amostral correspondente
\overline{X^{-1}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}.

Passo 5

Calcular a esperança teórica de 1/X:
\mathbb{E}\!\left[\frac{1}{X}\right] =\int_{\theta}^{\infty}\frac{1}{x}\,f(x)\,dx =\int_{\theta}^{\infty}\frac{1}{x}\,\theta x^{-2}\,dx =\theta\int_{\theta}^{\infty} x^{-3}\,dx.
A primitiva de x^{-3} é -\dfrac{1}{2}x^{-2}, logo
\int_{\theta}^{\infty} x^{-3}\,dx =\left[-\frac{1}{2}x^{-2}\right]_{\theta}^{\infty} =0-\left(-\frac{1}{2\theta^{2}}\right) =\frac{1}{2\theta^{2}}.
Multiplicando por \theta obtemos
\mathbb{E}\!\left[\frac{1}{X}\right]=\frac{1}{2\theta}.
Portanto a esperança de 1/X é finita e igual a 1/(2\theta).

Passo 6

Aplicando o método dos momentos com g(X)=1/X: igualamos a média amostral \overline{X^{-1}} à esperança teórica \mathbb{E}[1/X],
\overline{X^{-1}}=\frac{1}{2\theta}.
Resolvendo para \theta,
\theta=\frac{1}{2\,\overline{X^{-1}}}.
Esse é o estimador pelo método dos momentos usando o momento \mathbb{E}[X^{-1}]. Explicando a notação: \overline{X^{-1}}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{-1}.

Passo 7

Comentários didáticos e intuitivos:
  • Justificativa da escolha de 1/X: o método dos momentos permite usar qualquer momento finito (puro ou de uma transformação g(X)). Como o momento cru de ordem 1 diverge, escolheu-se o momento de ordem -1 por ser simples e ter esperança finita que depende de \theta de maneira explícita e simples.
  • Propriedades intuitivas: por Lei dos Grandes Números, \overline{X^{-1}} converge a \mathbb{E}[1/X]=1/(2\theta) quando n\to\infty, então o estimador \widehat{\theta}_{MM}=1/(2\overline{X^{-1}}) é consistente (converge em probabilidade para \theta).
  • Obs.: Outra alternativa válida seria usar g(X)=\ln X. Para esta distribuição verifica-se que \mathbb{E}[\ln X]=\ln\theta+1, e então igualando a média amostral de \ln X obter-se-ia o estimador \widehat{\theta}=\exp\!\big(\overline{\ln X}-1\big). Essa é outra forma do método dos momentos (usando momento logaritmo).

Resposta

\displaystyle \widehat{\theta}_{MM}=\frac{1}{2\;\overline{X^{-1}}}=\frac{1}{2\;\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{X_i}\right)}
\displaystyle \text{(Alternativa usando }g(X)=\ln X\text{): }\widehat{\theta}=\exp\!\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln X_i-1\bigg)

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