Uma amostra de alumina \left(\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}\right) está sendo solicitada em tração. A amostra contém uma trinca interna de raio 100 \mu \mathrm{~m}. A energia de superfície da alumina é 0,8 \mathrm{~J} / \mathrm{m}^{2}. qual a tensão de ruptura pelo critério de Griffith? ( \mathrm{E}=380 \mathrm{GPa} ).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de alumina com uma trinca interna de raio a=100\,\mu\mathrm m, energia de superfície \gamma_s=0,8\,\mathrm{J/m^2} e módulo de Young E=380\,\mathrm{GPa}. Pede-se a tensão de ruptura usando o critério de Griffith.

Passo 2

O critério de Griffith para uma trinca interna de semi-comprimento a num material frágil é
\sigma_c = \sqrt{\frac{2\,E\,\gamma_s}{\pi\,a}}
onde \sigma_c é a tensão crítica (ruptura).

Passo 3

Converter os dados para o SI: \displaystyle a = 100\,\mu\mathrm m = 100\times10^{-6}\,\mathrm m \displaystyle E = 380\,\mathrm GPa = 380\times10^{9}\,\mathrm{Pa} \displaystyle \gamma_s = 0,8\,\mathrm{J/m^2}

Passo 4

Substituindo na fórmula de Griffith:
\sigma_c = \sqrt{\frac{2\,(380\times10^{9})\times0,8}{\pi\,(100\times10^{-6})}}

Passo 5

Calculemos em etapas:
o numerador é
2\times380\times10^{9}\times0,8 = 608\times10^{9}
o denominador é
\pi\times100\times10^{-6} = \pi\times10^{-4}
logo o quociente vale cerca de 1{,}93\times10^{15} e \sqrt{1{,}93\times10^{15}}\approx4{,}4\times10^{7}\,\mathrm{Pa}.

Resposta

\sigma_\mathrm{ruptura}\approx44\,\mathrm{MPa}.

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