Uma amostra de argila mole saturada possui um teor de umidade de 43 \%. O peso específico dos grãos é 2,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Qual o índice de vazios, a porosidade e o peso específico aparente saturado do solo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Teor de umidade: w = 43\%.
    • Peso específico dos grãos (gravidade específica dos sólidos): G_s = 2,70\\ \mathrm{g/cm^3}.
    • O solo está saturado (isto é, grau de saturação S = 100\%).
  • O que o enunciado pede:
    1. O índice de vazios e.
    2. A porosidade n.
    3. O peso específico aparente saturado do solo \gamma_{\text{sat}}.

Passo 2

Entendendo as definições básicas (para não nos perder):
  • O teor de umidade w é definido como a razão entre a massa de água e a massa de sólidos:
    w=\frac{M_w}{M_s},
    onde M_w é a massa de água e M_s é a massa de sólidos. No enunciado w=43\%, isto é w=0,43.
  • A gravidade específica dos sólidos G_s é a razão entre a massa específica (densidade) dos grãos sólidos e a massa específica da água:
    G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}.
    G_s é um número adimensional; no enunciado foi dado como G_s=2,70.
  • Para solo saturado vale que todo o volume de vazios V_v está preenchido por água, logo V_v=V_w (volume de água).

Passo 3

Fórmula e derivação do índice de vazios e para solo saturado (explicando cada passo com calma):
  • Definição de índice de vazios:
    e=\frac{V_v}{V_s},
    onde V_v é o volume de vazios e V_s o volume de sólidos.
  • Como o solo está saturado, V_v=V_w. Escrevendo V_w e V_s em função das massas e densidades:
    V_w=\frac{M_w}{\rho_w},\qquad V_s=\frac{M_s}{\rho_s}.
    Substituindo em e:
    e=\frac{V_w}{V_s}=\frac{M_w/\rho_w}{M_s/\rho_s}=\frac{M_w}{M_s}\cdot\frac{\rho_s}{\rho_w}.
    Usando as definições w=\dfrac{M_w}{M_s} e \rho_s/\rho_w=G_s, obtemos a relação muito útil (e simples):
    e = w\,G_s.

Passo 4

Cálculo numérico do índice de vazios e:
  • Substituindo w=0,43 e G_s=2,70: e = 0,43 \times 2,70 = 1,161.Portanto o índice de vazios é e=1,161 (adimensional).

Passo 5

Fórmula e explicação para a porosidade n:
  • A porosidade é a fração do volume total ocupada por vazios: n=\frac{V_v}{V_t}=\frac{V_v}{V_s+V_v}.Em termos de e (porque e=V_v/V_s) temos n=\frac{e}{1+e}.

Passo 6

Cálculo numérico da porosidade n:
  • Substituindo e=1,161: n=\frac{1,161}{1+1,161}=\frac{1,161}{2,161}=0,5375\ldotsEm porcentagem: n\approx 53,75\%.

Passo 7

Fórmula e derivação do peso específico aparente saturado \gamma_{\text{sat}} (passo a passo):
  • Definição de peso específico aparente: \gamma_{\text{sat}}=\frac{\text{peso total}}{\text{volume total}}=\frac{W_s+W_w}{V_t}.Peso dos sólidos W_s=M_s g e peso da água W_w=M_w g. Escrevendo em termos de volumes e densidades: W_s=\rho_s V_s g,\qquad W_w=\rho_w V_w g.Então \gamma_{\text{sat}}=\frac{\rho_s V_s g + \rho_w V_w g}{V_t}=\rho_w g\cdot\frac{\dfrac{\rho_s}{\rho_w}V_s + V_w}{V_t}.Lembrando que \dfrac{\rho_s}{\rho_w}=G_s e V_t=V_s+V_w=V_s(1+e), e que V_w/V_s=e, chegamos a \gamma_{\text{sat}}=\rho_w g\cdot\frac{G_s + e}{1+e}.Como \rho_w g é o peso específico da água, denotado \gamma_w, a forma compacta é \gamma_{\text{sat}}=\frac{G_s+e}{1+e}\,\gamma_w.Nota: \gamma_w normalmente vale \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^3} (valor padrão para água a 4 °C; usamos 9,81\\ \mathrm{kN/m^3} para obter \gamma_{\text{sat}} em \mathrm{kN/m^3}).

Passo 8

Cálculo numérico de \gamma_{\text{sat}}:
  • Usando G_s=2,70, e=1,161 e \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^3}, \gamma_{\text{sat}}=\frac{2,70+1,161}{1+1,161}\times 9,81 =\frac{3,861}{2,161}\times 9,81.Primeiro o quociente: \frac{3,861}{2,161}\approx 1,7868.Multiplicando por 9,81: \gamma_{\text{sat}}\approx 1,7868\times 9,81 \approx 17,53\\ \mathrm{kN/m^3}.Se quiser em unidades de densidade \mathrm{g/cm^3} (usar \gamma_w=1,00\\ \mathrm{g/cm^3}) obtém-se \rho_{\text{sat}}\approx 1,7868\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

e=1,161
n=0,5375\\ \approx 53,75\%
\gamma_{\text{sat}}\approx 17,53\\ \mathrm{kN/m^3}

Exercícios relacionados