O peso específico dos sólidos de uma areia é de 26,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e seu índice de vazios é de 0,57. Calcule:
a. Peso especifico da areia na condição seca;
b. Peso especifico na condição saturada;
c. Peso especifico na condição submersa;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, só identificando dados e perguntas (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Peso específico dos sólidos: \gamma_s = 26{,}5\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Índice de vazios (void ratio): e = 0{,}57.
  • (Adotarei o peso específico da água) \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3} — valor padrão usado em problemas de mecânica dos solos.
O enunciado pede:
(a) o peso específico da areia na condição seca;
(b) o peso específico da areia na condição saturada;
(c) o peso específico da areia na condição submersa.

Passo 2

Explicar conceitos e definir variáveis importantes (aula rápida e amigável).
  • Seja V_s o volume dos sólidos e V_v o volume de vazios (poros), então o volume total é V = V_s + V_v.
  • O índice de vazios é definido por
e=\frac{V_v}{V_s},
ou seja, V_v=eV_s e V=V_s(1+e).
  • O peso dos sólidos é W_s=\gamma_s V_s.
  • O peso da água presente nos vazios (quando houver água) é W_w=\gamma_w V_w, onde V_w é o volume de água nos vazios. No caso saturado V_w=V_v; no seco V_w=0.
Unidade: todo peso específico \gamma que vamos calcular tem unidade \mathrm{kN/m^3} e é definido como \gamma=W/V.

Passo 3

Derivar a fórmula do peso específico na condição seca (passo a passo).
  • Na condição seca não há água nos vazios, então o peso total é apenas o peso dos sólidos: W=W_s=\gamma_s V_s.
  • O volume total é V=V_s(1+e).
  • Logo o peso específico seco \gamma_d (onde o índice d indica “dry”) vale
\gamma_d=\frac{W}{V}=\frac{\gamma_s V_s}{V_s(1+e)}=\frac{\gamma_s}{1+e}.
Explicando: dividimos o peso dos grãos pelo volume total; o fator 1+e aparece porque o volume total é maior que o volume de sólidos devido aos vazios.

Passo 4

Calcular numericamente o peso específico na condição seca usando os dados.
  • Substituindo \gamma_s=26{,}5 e e=0{,}57 em \gamma_d=\dfrac{\gamma_s}{1+e}:
1+e=1+0{,}57=1{,}57,
\gamma_d=\frac{26{,}5}{1{,}57}\approx 16{,}88\\ \mathrm{kN/m^3}.
(Arredondei para duas casas decimais, que é usual em engenharia.)

Passo 5

Derivar a fórmula do peso específico na condição saturada.
  • Em condição saturada os vazios estão totalmente preenchidos por água, então o peso total é W=W_s+W_w=\gamma_s V_s + \gamma_w V_v.
  • O volume total continua sendo V=V_s(1+e).
  • Assim o peso específico saturado \gamma_{sat} é
\gamma_{sat}=\frac{\gamma_s V_s + \gamma_w V_v}{V_s(1+e)}=\frac{\gamma_s + \gamma_w e}{1+e}.
Explicando: somamos o peso dos grãos com o peso da água nos vazios e dividimos pelo volume total.

Passo 6

Calcular numericamente o peso específico na condição saturada.
  • Primeiro calcule \gamma_w e = 9{,}81 \times 0{,}57 = 5{,}5917.
  • Soma no numerador: \gamma_s + \gamma_w e = 26{,}5 + 5{,}5917 = 32{,}0917.
  • Dividindo pelo 1+e=1{,}57:
\gamma_{sat}=\frac{32{,}0917}{1{,}57}\approx 20{,}44\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 7

Derivar e explicar o peso específico submerso.
  • O peso específico submerso (às vezes chamado de peso específico efetivo ou peso específico aparente) representa o peso por unidade de volume quando o corpo está submerso e sofre empuxo da água; é dado por
\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w.
  • Usando a fórmula de \gamma_{sat} obtida antes, pode-se simplificar:
\gamma'=\frac{\gamma_s+\gamma_w e}{1+e}-\gamma_w=\frac{\gamma_s-\gamma_w}{1+e}.
Explicando de modo intuitivo: subtrai-se o peso específico da água porque a água exerce empuxo; o resultado é o “peso aparente” do solo saturado.

Passo 8

Calcular numericamente o peso específico submerso.
  • Usando \gamma'=\dfrac{\gamma_s-\gamma_w}{1+e}:
\gamma_s-\gamma_w=26{,}5-9{,}81=16{,}69,
\gamma'=\frac{16{,}69}{1{,}57}\approx 10{,}63\\ \mathrm{kN/m^3}.
(Verificação rápida: \gamma_{sat}-\gamma_w \approx 20{,}44-9{,}81=10{,}63, bate.)

Resposta

(a) \gamma_d \approx 16{,}88\\ \mathrm{kN/m^3}
(b) \gamma_{sat} \approx 20{,}44\\ \mathrm{kN/m^3}
(c) \gamma' \approx 10{,}63\\ \mathrm{kN/m^3}

Exercícios relacionados