Uma amostra de argila saturada da Região Metropolitana de Curitiba possui umidade de 70 \% e peso específico das partículas sólidas de 20,0 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Determine a porosidade, o índice de vazios e o peso específico natural deste solo.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Amostra saturada (logo a saturação é total).
  • Umidade gravimétrica w = 70\% = 0,70.
  • Peso específico das partículas sólidas \gamma_{s} = 20{,}0\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
O que é pedido:
  • Determinar a porosidade n.
  • Determinar o índice de vazios e.
  • Determinar o peso específico natural (peso específico saturado, já que a amostra está saturada) \gamma.

Passo 2

Relembrando conceitos e fórmulas básicas (explicadas passo a passo):
  1. Definições e constantes usadas:
  • Umidade gravimétrica w é a razão entre massa de água e massa de sólidos: w = \dfrac{M_w}{M_s}.
  • Grau de saturação S é a razão do volume de água pelo volume de vazios: S=\dfrac{V_w}{V_v}. Para amostra saturada vale S=1.
  • Gravidade específica dos sólidos G_s é G_s=\dfrac{\rho_s}{\rho_w}. Pode-se obter G_s a partir de \gamma_s e \gamma_w por
G_s=\dfrac{\gamma_s}{\gamma_w},
onde \gamma_w é o peso específico da água. Tomaremos \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • Índice de vazios e e porosidade n estão ligados por
n=\dfrac{e}{1+e}.
  1. Relação entre S, w, G_s e e:
    Derivação rápida (para entender de onde vem a fórmula):
S=\frac{V_w}{V_v}=\frac{M_w/\rho_w}{V_v}=\frac{(w M_s)/\rho_w}{e V_s}
mas como M_s=\rho_s V_s e \rho_s/\rho_w=G_s, simplifica-se para
S=\frac{w G_s}{e}.
Portanto, para amostra saturada ( S=1) vale
e = w G_s.
Essa é a fórmula que usaremos para obter o índice de vazios quando S=1.

Passo 3

Calcular G_s a partir de \gamma_s e \gamma_w:
G_s=\dfrac{\gamma_s}{\gamma_w}=\dfrac{20{,}0}{9{,}81}.
Fazendo a conta:
G_s \approx 2{,}039\\ .
Agora usar e = w G_s:
e = w\,G_s = 0{,}70 \times 2{,}039 \approx 1{,}4275.

Passo 4

Calcular a porosidade n a partir de e:
n=\dfrac{e}{1+e}=\dfrac{1{,}4275}{1+1{,}4275}=\dfrac{1{,}4275}{2{,}4275}\approx 0{,}588.
Em porcentagem: n\approx 58{,}8\%.

Passo 5

Determinar o peso específico natural \gamma (amostra saturada). Fórmula prática (derivada das relações de massas e volumes):
\gamma = \dfrac{(G_s+e)\,\gamma_w}{1+e}.
Substituindo os valores:
\gamma = \dfrac{\bigl(2{,}039 + 1{,}4275\bigr)\times 9{,}81}{1+1{,}4275} = \dfrac{3{,}4665\times 9{,}81}{2{,}4275}.
Calculando:
\gamma \approx 14{,}01\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
Observação alternativa (cheque rápido): calcular o peso específico seco \gamma_d=\dfrac{G_s\gamma_w}{1+e} e multiplicar por (1+w):
\gamma_d=\dfrac{2{,}039\times 9{,}81}{2{,}4275}\approx 8{,}242\\ \mathrm{kN/m^{3}},
\gamma = \gamma_d(1+w)=8{,}242\times 1{,}70\approx 14{,}01\\ \mathrm{kN/m^{3}},
mesmo resultado — bom para conferência na prova.

Resposta

Porosidade: n=0{,}588 (ou 58{,}8\%)
Índice de vazios: e=1{,}4275
Peso específico natural (saturado): \gamma\approx 14{,}01\\ \mathrm{kN/m^{3}}

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