Um retângulo de 2,0 \mathrm{~cm} \times 3,0 \mathrm{~cm} situa-se no plano x y. Qual será o valor do fluxo elétrico através do retângulo se:
\vec{E}=(50 \hat{\imath}+100 \hat{\jmath}) N / C ?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • O retângulo está no plano xy.
  • As dimensões do retângulo são 2{,}0\\ \mathrm{cm} por 3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • O campo elétrico é \vec{E}=(50\,\hat{\imath}+100\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N/C}.
  • Pergunta: qual é o fluxo elétrico através do retângulo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
  • Fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}.
  • Se \vec{E} é uniforme e a superfície é plana, a integral vira um produto escalar simples:
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A},
onde \vec{A} é o vetor área da superfície: \vec{A}=\hat{n}\,A. Aqui A é a área (número positivo) e \hat{n} é o versor normal à superfície (direção perpendicular).
  • Lembrete sobre produto escalar: para \vec{E}=(E_x,E_y,E_z) e \vec{A}=(A_x,A_y,A_z),
\vec{E}\cdot\vec{A}=E_xA_x+E_yA_y+E_zA_z.
Isso significa que só as componentes na mesma direção contribuem.

Passo 3

Calcular a área do retângulo, cuidando das unidades (fazer sem calculadora).
  • Converter comprimentos para metros:
2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}020\\ \mathrm{m},\qquad 3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
  • Área:
A=(0{,}020)(0{,}030)=0{,}0006\\ \mathrm{m^{2}}=6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Determinar o vetor área \vec{A}.
  • O retângulo está no plano xy, logo uma normal unitária é \hat{n}=\pm\hat{k} (para cima ou para baixo). A escolha do sinal muda o sinal do fluxo, mas aqui veremos que o valor é nulo de qualquer forma.
  • Tomando \hat{n}=\hat{k},
\vec{A}=A\,\hat{k}=\bigl(6{,}0\times10^{-4}\bigr)\,\hat{k}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}.
  • Primeiro escrevemos \vec{E} com a componente z explícita:
\vec{E}=50\,\hat{\imath}+100\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.
  • Fazendo o produto escalar:
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}=50\cdot 0 + 100\cdot 0 + 0\cdot\bigl(6{,}0\times10^{-4}\bigr)=0.
  • Interpretação curta: como \vec{E} está inteiramente no plano xy (não tem componente em z), nenhuma linha de campo atravessa a superfície cuja normal é em z; por isso o fluxo é zero. Se a normal fosse -\hat{k} o cálculo seria o mesmo (a componente relevante de \vec{E} ainda é zero).

Passo 6

Exemplo adicional para fixar a ideia (opcional, para eu me lembrar na prova).
  • Se o campo tivesse uma componente z, por exemplo \vec{E}=(50\,\hat{\imath}+100\,\hat{\jmath}+20\,\hat{k})\\ \mathrm{N/C}, o fluxo seria
\Phi=E_z A = 20\cdot\bigl(6{,}0\times10^{-4}\bigr)=1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Esse exemplo mostra claramente que só a componente do campo perpendicular à superfície importa.

Resposta

0\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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