Questão 4(2,0). Considere três cilindros longos, coaxiais e condutores, denominados A, B e C, o cilindro A é o mais interno e possui carga total uniforme
. O cilindro C envolve completamente os cilindros A e B.
Deseja-se determinar quais valores das cargas totais
e
tornam o campo elétrico resultante nulo nos seguintes pontos:
- Ponto 2: localizado na região entre os cilindros B e C;
- Ponto 3: localizado na região externa ao cilindro C.
Com base na Lei de Gauss e na simetria do sistema, assinale a alternativa correta:
a) O campo elétrico pode ser nulo nos pontos 1, 2 e 3, desde que:
e
; é nulo no ponto 2 se
é é nulo no ponto 3 se
. O campo elétrico pode ser nulo em todos os pontos se:
d) O campo elétrico é sempre nulo no ponto 1 ; é nulo no ponto 2 independentemente de
;
- O campo elétrico depende apenas de
no ponto 1 e depende apenas de
no ponto 3.
Deseja-se determinar quais valores das cargas totais
a) O campo elétrico pode ser nulo nos pontos 1, 2 e 3, desde que:
d) O campo elétrico é sempre nulo no ponto 1 ; é nulo no ponto 2 independentemente de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Três cilindros longos, coaxiais e condutores A (mais interno), B (intermediário) e C (mais externo).
- A carga total do cilindro A é
. - Queremos saber quais valores das cargas totais
e tornam o campo elétrico resultante nulo em: - Ponto 2: região entre os cilindros B e C (isto é, fora de B e dentro de C);
- Ponto 3: região externa ao cilindro C (isto é, fora de C).
- Informação importante a lembrar (que usaremos): o sistema tem simetria cilíndrica e as cargas efetivas que geram campo em uma região são as cargas totais contidas dentro da superfície gaussiana correspondente àquela região.
Passo 2
Ferramenta principal: Lei de Gauss aplicada à simetria cilíndrica.
- Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento . A simetria garante que o campo elétrico seja radial e de mesmo módulo em toda a superfície lateral. - A Lei de Gauss diz:
- Para a superfície lateral cilíndrica, a integral dá
. Assim:
onde:
-
é o módulo do campo elétrico na distância do eixo; -
é a carga total (algebraicamente) contida dentro do raio (ou seja, o somatório das cargas dos cilindros inteiramente incluídos pela superfície gaussiana); -
é a permissividade do vácuo; -
é o comprimento do cilindro usado na superfície gaussiana (cancela na condição de zero, mas explicito para clareza). - Para que
em uma região com dado , é necessário e suficiente que .
Passo 3
Aplicação ao Ponto 2 (entre B e C).
- Uma superfície gaussiana com raio entre B e C envolve completamente o cilindro A e o cilindro B, mas não o cilindro C. Logo:
- Para que o campo seja nulo nessa região precisamos de
. Portanto:
- Substituindo
obtemos:
- Interpretação prática: o campo entre B e C só “vê” as cargas de A e B. Para anular o campo ali, a soma dessas duas cargas deve ser zero.
Passo 4
Aplicação ao Ponto 3 (fora de C).
- Uma superfície gaussiana fora de C envolve A, B e C. Logo:
- Para
fora de C é necessário:
- Substituindo
obtemos a condição:
- Interpretação prática: o campo externo depende da carga total do conjunto; para anular o campo externo, a soma algébrica das três cargas tem que ser zero.
Passo 5
Condições simultâneas e exemplos concretos.
- Se queremos que o campo seja nulo simultaneamente em Ponto 2 e Ponto 3, devemos satisfazer as duas condições ao mesmo tempo:
- Subtraindo a primeira da segunda obtemos
. Portanto, a solução para anular o campo em ambas as regiões é:
- Verificação rápida: com esses valores, entre B e C temos
(campo nulo) e fora de C temos (campo nulo).]
Passo 6
Observações extras sobre condutores e avaliação das alternativas fornecidas:
- Dentro do volume metálico de qualquer cilindro condutor em equilíbrio eletrostático o campo é nulo. Assim, pontos localizados dentro do material condutor estão sempre em campo nulo (isso é uma propriedade do condutor).
- Comparando com as frases das alternativas: a condição para Ponto 2 é exatamente
. A condição para Ponto 3 é . A combinação que anula ambos 2 e 3 é e . - Se alguma alternativa afirma outra condição diferente dessas (por exemplo
para anular todos os pontos), essa alternativa está incorreta porque com a carga total seria e o campo fora de C não seria nulo.
Resposta
Nenhuma das alternativas apresentadas (nas versões parciais mostradas) está totalmente correta.
Condições corretas:
para
entre B e C.
para
fora de C.
Para anular ambos simultaneamente: e
.
Condições corretas:
Para anular ambos simultaneamente: