Questão 4(2,0). Considere três cilindros longos, coaxiais e condutores, denominados A, B e C, o cilindro A é o mais interno e possui carga total uniforme \mathrm{q}_{\mathrm{A}}=+3 \mathrm{q}. O cilindro C envolve completamente os cilindros A e B.
Deseja-se determinar quais valores das cargas totais \mathrm{q}_{\mathrm{B}} e \mathrm{q}_{\mathrm{C}} tornam o campo elétrico resultante nulo nos seguintes pontos:
  • Ponto 2: localizado na região entre os cilindros B e C;
  • Ponto 3: localizado na região externa ao cilindro C.
Com base na Lei de Gauss e na simetria do sistema, assinale a alternativa correta:
a) O campo elétrico pode ser nulo nos pontos 1, 2 e 3, desde que: \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=-3 \mathrm{q}_{0} e \mathrm{q}_{\mathrm{C}}=0 ; é nulo no ponto 2 se \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=-3 \mathrm{q}_{0} é é nulo no ponto 3 se \mathrm{q}_{\mathrm{B}}+\mathrm{q}_{\mathrm{C}}=-3 \mathrm{q}_{0}. O campo elétrico pode ser nulo em todos os pontos se: \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=\mathrm{q}_{\mathrm{C}}=-3 \mathrm{q}_{0}
d) O campo elétrico é sempre nulo no ponto 1 ; é nulo no ponto 2 independentemente de \mathrm{q}_{\mathrm{B}};
  • O campo elétrico depende apenas de \mathrm{q}_{\mathrm{A}} no ponto 1 e depende apenas de \mathrm{q}_{\mathrm{C}} no ponto 3.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Três cilindros longos, coaxiais e condutores A (mais interno), B (intermediário) e C (mais externo).
  • A carga total do cilindro A é \mathrm{q}_{A}=+3\mathrm{q}.
  • Queremos saber quais valores das cargas totais \mathrm{q}_{B} e \mathrm{q}_{C} tornam o campo elétrico resultante nulo em:
    • Ponto 2: região entre os cilindros B e C (isto é, fora de B e dentro de C);
    • Ponto 3: região externa ao cilindro C (isto é, fora de C).
  • Informação importante a lembrar (que usaremos): o sistema tem simetria cilíndrica e as cargas efetivas que geram campo em uma região são as cargas totais contidas dentro da superfície gaussiana correspondente àquela região.

Passo 2

Ferramenta principal: Lei de Gauss aplicada à simetria cilíndrica.
  • Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A simetria garante que o campo elétrico \mathbf{E} seja radial e de mesmo módulo em toda a superfície lateral.
  • A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Para a superfície lateral cilíndrica, a integral dá E(r)\cdot 2\pi r L. Assim:
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{2\pi\varepsilon_{0} L\, r},
onde:
  • E(r) é o módulo do campo elétrico na distância r do eixo;
  • Q_{\text{int}} é a carga total (algebraicamente) contida dentro do raio r (ou seja, o somatório das cargas dos cilindros inteiramente incluídos pela superfície gaussiana);
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo;
  • L é o comprimento do cilindro usado na superfície gaussiana (cancela na condição de zero, mas explicito para clareza).
  • Para que E(r)=0 em uma região com dado r, é necessário e suficiente que Q_{\text{int}}=0.

Passo 3

Aplicação ao Ponto 2 (entre B e C).
  • Uma superfície gaussiana com raio entre B e C envolve completamente o cilindro A e o cilindro B, mas não o cilindro C. Logo:
Q_{\text{int (entre B e C)}}= \mathrm{q}_{A} + \mathrm{q}_{B}.
  • Para que o campo seja nulo nessa região precisamos de Q_{\text{int}}=0. Portanto:
\mathrm{q}_{A}+\mathrm{q}_{B}=0.
  • Substituindo \mathrm{q}_{A}=+3\mathrm{q} obtemos:
\mathrm{q}_{B}=-\mathrm{q}_{A}=-3\mathrm{q}.
  • Interpretação prática: o campo entre B e C só “vê” as cargas de A e B. Para anular o campo ali, a soma dessas duas cargas deve ser zero.

Passo 4

Aplicação ao Ponto 3 (fora de C).
  • Uma superfície gaussiana fora de C envolve A, B e C. Logo:
Q_{\text{int (fora de C)}}=\mathrm{q}_{A}+\mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}.
  • Para E=0 fora de C é necessário:
\mathrm{q}_{A}+\mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}=0.
  • Substituindo \mathrm{q}_{A}=+3\mathrm{q} obtemos a condição:
\mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q}.
  • Interpretação prática: o campo externo depende da carga total do conjunto; para anular o campo externo, a soma algébrica das três cargas tem que ser zero.

Passo 5

Condições simultâneas e exemplos concretos.
  • Se queremos que o campo seja nulo simultaneamente em Ponto 2 e Ponto 3, devemos satisfazer as duas condições ao mesmo tempo:
\begin{cases} \mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q},\\[4pt] \mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q}. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira da segunda obtemos \mathrm{q}_{C}=0. Portanto, a solução para anular o campo em ambas as regiões é:
\mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q}\quad\text{e}\quad \mathrm{q}_{C}=0.
  • Verificação rápida: com esses valores, entre B e C temos 3\mathrm{q}+(-3\mathrm{q})=0 (campo nulo) e fora de C temos 3\mathrm{q}+(-3\mathrm{q})+0=0 (campo nulo).]

Passo 6

Observações extras sobre condutores e avaliação das alternativas fornecidas:
  • Dentro do volume metálico de qualquer cilindro condutor em equilíbrio eletrostático o campo é nulo. Assim, pontos localizados dentro do material condutor estão sempre em campo nulo (isso é uma propriedade do condutor).
  • Comparando com as frases das alternativas: a condição para Ponto 2 é exatamente \mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q}. A condição para Ponto 3 é \mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q}. A combinação que anula ambos 2 e 3 é \mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q} e \mathrm{q}_{C}=0.
  • Se alguma alternativa afirma outra condição diferente dessas (por exemplo \mathrm{q}_{B}=\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q} para anular todos os pontos), essa alternativa está incorreta porque com \mathrm{q}_{B}=\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q} a carga total seria 3\mathrm{q}-3\mathrm{q}-3\mathrm{q}=-3\mathrm{q}\neq 0 e o campo fora de C não seria nulo.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas (nas versões parciais mostradas) está totalmente correta.
Condições corretas:
\mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q} para E=0 entre B e C.
\mathrm{q}_{B}+\mathrm{q}_{C}=-3\mathrm{q} para E=0 fora de C.
Para anular ambos simultaneamente: \mathrm{q}_{B}=-3\mathrm{q} e \mathrm{q}_{C}=0.

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