Uma amostra de argila saturada tem um volume de 162 \mathrm{~cm}_{3} e massa de 290 g .Sendo \gamma_{\mathrm{s}} =26,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}_{3}, pede-se determinar o índice de vazios, a porosidade, o teor de umidade e o peso específico do material.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
  • Volume da amostra: V=162\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Massa total da amostra (sólidos + água): m_{\text{tot}}=290\\ \mathrm{g}.
  • Peso específico dos grãos (sólidos): \gamma_{s}=26,5\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
O enunciado pede:
  • Índice de vazios e.
  • Porosidade n.
  • Teor de umidade (teor de água) w.
  • Peso específico do material (peso específico aparente/saturado) \gamma.
Observação: a amostra é saturada, ou seja, todos os vazios estão cheios de água (volume de vazios V_{v} = volume de água V_{w}). Vou usar isso na resolução.

Passo 2

Conversões de unidades e constantes que vou usar (sempre importante para evitar erro):
  • Converter massas e volumes para unidades do SI: m_{\text{tot}}=290\\ \mathrm{g}=0{,}290\\ \mathrm{kg},
V=162\\ \mathrm{cm^{3}}=162\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}=0{,}000162\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Densidade da água: \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Peso específico dos grãos dado em kN/m³: \gamma_{s}=26{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}}=26500\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • A densidade dos sólidos \rho_{s} relaciona-se com \gamma_{s} por \rho_{s}=\frac{\gamma_{s}}{g}.
Vou calcular \rho_{s} para usar nas equações de volumes e massas.

Passo 3

Calcular a densidade dos grãos \rho_{s}:
\rho_{s}=\frac{\gamma_{s}}{g}=\frac{26500\\ \mathrm{N/m^{3}}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}}=2701{,}33\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Explicação do raciocínio físico que vou usar: a amostra contém massa de sólidos m_{s} e massa de água m_{w}, com
m_{\text{tot}}=m_{s}+m_{w}.
Os volumes correspondentes são V_{s} (sólidos) e V_{v}=V_{w} (vazios = água), com
V_{s}=\frac{m_{s}}{\rho_{s}},\qquad V_{w}=\frac{m_{w}}{\rho_{w}}.
Como V=V_{s}+V_{v}=V_{s}+V_{w}, substituindo m_{w}=m_{\text{tot}}-m_{s} obtemos uma equação para m_{s}:
\frac{m_{s}}{\rho_{s}}+\frac{m_{\text{tot}}-m_{s}}{\rho_{w}}=V.
Essa equação é linear em m_{s} e permite determinar a massa de sólidos a partir dos dados.

Passo 4

Resolver a equação para m_{s}. Reescrevendo:
m_{s}\Big(\frac{1}{\rho_{s}}-\frac{1}{\rho_{w}}\Big)+\frac{m_{\text{tot}}}{\rho_{w}}=V.
Logo
m_{s}=\frac{V-\dfrac{m_{\text{tot}}}{\rho_{w}}}{\dfrac{1}{\rho_{s}}-\dfrac{1}{\rho_{w}}} =\bigg(V-\frac{m_{\text{tot}}}{\rho_{w}}\bigg)\frac{\rho_{s}\rho_{w}}{\rho_{w}-\rho_{s}}.
Agora substituo os valores numéricos (tudo em SI):
V=0{,}000162\\ \mathrm{m^{3}},\quad m_{\text{tot}}=0{,}290\\ \mathrm{kg},\quad \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \rho_{s}=2701{,}33\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{m_{\text{tot}}}{\rho_{w}}=\frac{0{,}290}{1000}=0{,}00029\\ \mathrm{m^{3}},
V-\frac{m_{\text{tot}}}{\rho_{w}}=0{,}000162-0{,}00029=-0{,}000128\\ \mathrm{m^{3}},
\rho_{s}\rho_{w}=2701{,}33\times 1000=2{.}701{,}33\times 10^{6}\\ \mathrm{kg^{2}/m^{6}},
\rho_{w}-\rho_{s}=1000-2701{,}33=-1701{,}33\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Portanto
m_{s}=(-0{,}000128)\times\frac{2{.}701{,}33\times 10^{6}}{-1701{,}33}=0{,}20283\\ \mathrm{kg}.
Isso nos dá:
m_{s}=0{,}20283\\ \mathrm{kg}=202{,}83\\ \mathrm{g}.
A massa de água é
m_{w}=m_{\text{tot}}-m_{s}=0{,}290-0{,}20283=0{,}08717\\ \mathrm{kg}=87{,}17\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Calcular volumes sólidos e vazios:
Volume dos sólidos:
V_{s}=\frac{m_{s}}{\rho_{s}}=\frac{0{,}20283}{2701{,}33}=7{,}5087\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}=75{,}087\\ \mathrm{cm^{3}}.
Volume dos vazios (como V_{v}=V-V_{s}):
V_{v}=0{,}000162-7{,}5087\times 10^{-5}=8{,}6913\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}=86{,}913\\ \mathrm{cm^{3}}.
Verificação rápida: massa de água calculada a partir de V_{v} é
\rho_{w}V_{v}=1000\times 8{,}6913\times 10^{-5}=0{,}086913\\ \mathrm{kg},
que concorda (dentro de arredondamento) com m_{w}=0{,}08717\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular o índice de vazios e:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}=\frac{8{,}6913\times 10^{-5}}{7{,}5087\times 10^{-5}}=1{,}1573\approx 1{,}16.
Calcular a porosidade n:
n=\frac{V_{v}}{V}=\frac{8{,}6913\times 10^{-5}}{0{,}000162}=0{,}5366\approx 0{,}537\quad(\text{ou }53{,}7\%).
Calcular o teor de umidade w (em razão gravimétrica):
w=\frac{m_{w}}{m_{s}}=\frac{0{,}08717}{0{,}20283}=0{,}4297\approx 0{,}430\quad(\text{ou }43{,}0\%).
Calcular o peso específico aparente/saturado \gamma da amostra (peso total dividido pelo volume):
\gamma=\frac{m_{\text{tot}}\,g}{V}=\frac{0{,}290\times 9{,}81}{0{,}000162}=17556{,}79\\ \mathrm{N/m^{3}}=17{,}5568\\ \mathrm{kN/m^{3}}\approx 17{,}56\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Passo 7

Resumo dos resultados (arredondados de forma prática para uso em prova):
  • e\approx 1{,}16.
  • n\approx 0{,}537 (ou 53{,}7\%).
  • w\approx 0{,}430 (ou 43{,}0\%).
  • \gamma\approx 17{,}56\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Resposta

e=1{,}16
n=0{,}537
w=0{,}430 (43,0%)
\gamma=17{,}56\\ \mathrm{kN/m^{3}}

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