Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque de 2,5 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 50 MPa nem uma razão de torção de 0,80%
(O módulo de elasticidade de cisalhamento do aço é de 75 GPa .)
(a) Determine o diâmetro necessário \mathrm{d}_{0} do eixo sólido.
(b) Determine o diâmetro externo necessário \mathrm{d}_{2} do eixo vazado se a espessura t do eixo está especificada em d2/8
(c) Determine a razão dos diâmetros (isto é, a razão \mathrm{d}_{2} / \mathrm{d}_{0} ) e a razão dos pesos dos eixos sólido e vazado.

Passo 1

O enunciado pede que projetemos um eixo que deve transmitir um torque e satisfaça dois limites: tensão de cisalhamento máxima e “razão de torção” máxima. Vou listar claramente os dados e as perguntas.
Dados fornecidos:
T = 2{,}5\\ \mathrm{kN\cdot m}
\tau_{adm} = 50\\ \mathrm{MPa}
\text{razão de torção admissível} = 0{,}80\% = 0{,}008ãçãí
G = 75\\ \mathrm{GPa}
Observações sobre unidades (vou usar o SI consistentemente): 1\\ \mathrm{kN\cdot m}=1000\\ \mathrm{N\cdot m}, 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}, 1\\ \mathrm{GPa}=10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Perguntas:
(a) Determinar o diâmetro necessário \mathrm{d}_{0} do eixo sólido.
(b) Determinar o diâmetro externo \mathrm{d}_{2} do eixo vazado para o qual a espessura é t=\mathrm{d}_{2}/8.
(c) Determinar a razão \mathrm{d}_{2}/\mathrm{d}_{0} e a razão dos pesos (ou seja, das áreas transversais) do eixo sólido e do eixo vazado.

Passo 2

Principais fórmulas da torção que vamos usar (explico cada termo):
  • Tensão cortante máxima em uma seção circular sujeita a torque:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}
onde T é o torque aplicado (em \mathrm{N\cdot m}), c é o raio externo (em \mathrm{m}) e J é o momento polar de inércia da seção (em \mathrm{m^4}).
  • Para um eixo sólido de diâmetro d:
J_{\text{sólido}}=\frac{\pi d^{4}}{32},\qquad c=\frac{d}{2}.ó
  • Para um eixo circular vazado com diâmetro externo d_{2} e interno d_{1}:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi\left(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\right)}{32},\qquad c=\frac{d_{2}}{2}.
  • Relação tensão-deformação para cisalhamento (material linear elástico):
\tau = G\,\gamma
onde \gamma é a deformação de cisalhamento (adimensional). Neste problema a “razão de torção” dada pode ser interpretada como a máxima deformação de cisalhamento admissível \gamma_{adm}=0{,}008. Assim, a partir disso podemos calcular uma tensão correspondente \tau_{a\_por\_deform} = G\gamma_{adm}. Se esta tensão for maior que \tau_{adm}, então a restrição de tensão controla o projeto; caso contrário, a restrição de deformação controla.
Vou usar essas fórmulas para achar d_0 e d_2.

Passo 3

Resolver (a) — diâmetro do eixo sólido usando a restrição de tensão.
Para o eixo sólido:
\tau_{\max}=\frac{T\,\left(d/2\right)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Isolando d quando \tau_{\max}=\tau_{adm}:
d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm}}\right)^{1/3}.
Agora substituo números (conversão de unidades primeiro):
T=2{,}5\\ \mathrm{kN\cdot m}=2500\\ \mathrm{N\cdot m}, \qquad \tau_{adm}=50\\ \mathrm{MPa}=50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule o radicando:
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm}}=\frac{16\cdot 2500}{\pi\cdot 50\cdot 10^{6}} =0{,}0002546479\\ \mathrm{m^{3}}.
Tomando a raiz cúbica:
d_{0}=\left(0{,}0002546479\right)^{1/3}=0{,}063533\\ \mathrm{m}=63{,}53\\ \mathrm{mm}.
Portanto o diâmetro do eixo sólido, controlado pela tensão admissível, é aproximadamente 63{,}53\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Verificação da restrição de deformação para o eixo sólido (ver se ela é mais severa):
Calcule a tensão correspondente à deformação admissível:
\tau_{\text{por deform}}=G\,\gamma_{adm}=75\\ \mathrm{GPa}\times 0{,}008 =75\times10^{9}\times0{,}008=600\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=600\\ \mathrm{MPa}.
Comparando:
\tau_{\text{por deform}}=600\\ \mathrm{MPa}\quad\text{e}\quad \tau_{adm}=50\\ \mathrm{MPa}.
A tensão correspondente à deformação admissível é muito maior que \tau_{adm}, logo a restrição de tensão é a que controla o projeto do eixo sólido. Assim d_{0} calculado no passo anterior é o correto.

Passo 5

Resolver (b) — diâmetro externo d_{2} do eixo vazado, com espessura t=d_{2}/8.
Primeiro relacionar o diâmetro interno d_{1} com d_{2}. A espessura é a metade da diferença entre externo e interno:
t=\frac{d_{2}-d_{1}}{2}=\frac{d_{2}}{8}.
Isolando d_{1}:
d_{2}-d_{1}=2\cdot\frac{d_{2}}{8}=\frac{d_{2}}{4} \quad\Rightarrow\quad d_{1}=d_{2}-\frac{d_{2}}{4}=\frac{3}{4}d_{2}.
Logo a razão k=\dfrac{d_{1}}{d_{2}}=\dfrac{3}{4}.

Passo 6

Expressar \tau_{\max} para o vazado e resolver para d_{2}.
Para um eixo vazado:
\tau_{\max}=\frac{T\,\left(d_{2}/2\right)}{(\pi/32)\left(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\right)} =\frac{16\,T}{\pi\,d_{2}^{3}\left(1-(d_{1}/d_{2})^{4}\right)}.
Substituindo d_{1}/d_{2}=3/4, temos
1-\left(\frac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{4}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{4} =1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}=0{,}68359375.
Isolando d_{2} com \tau_{\max}=\tau_{adm}:
d_{2}=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm}\left(1-(d_{1}/d_{2})^{4}\right)}\right)^{1/3}.
Substituindo valores numéricos:
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm}\,(1-k^{4})} =\frac{16\cdot2500}{\pi\cdot 50\times10^{6}\cdot 0{,}68359375} =0{,}000372717\\ \mathrm{m^{3}}.
Raiz cúbica:
d_{2}=\left(0{,}000372717\right)^{1/3}=0{,}072138\\ \mathrm{m}=72{,}14\\ \mathrm{mm}.
Portanto o diâmetro externo do eixo vazado é aproximadamente 72{,}14\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação da restrição de deformação para o vazado:
Como G e \gamma_{adm} são os mesmos, a tensão correspondente à deformação admissível continua sendo 600\\ \mathrm{MPa}, muito maior que \tau_{adm}=50\\ \mathrm{MPa}. Logo a restrição de tensão também controla para o eixo vazado; assim d_{2} calculado no passo anterior é apropriado.

Passo 8

Calcular a razão dos diâmetros \dfrac{d_{2}}{d_{0}}.
Usando os valores numéricos:
\frac{d_{2}}{d_{0}}=\frac{0{,}072138}{0{,}063533}=1{,}135\\ (\text{aprox.}).

Passo 9

Calcular a razão dos pesos (proporcional à área da seção transversal). Vou fornecer a razão “peso do eixo sólido : peso do eixo vazado”.
Área do sólido:
A_{\text{sólido}}=\frac{\pi d_{0}^{2}}{4}.ó
Área do vazado:
A_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{4}\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right) =\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}\left(1-\left(\frac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{2}\right).
Com d_{1}/d_{2}=3/4, temos 1-(3/4)^{2}=1-\tfrac{9}{16}=\tfrac{7}{16}=0{,}4375.
Assim a razão das áreas (e, portanto, dos pesos) é
\frac{W_{\text{sólido}}}{W_{\text{vazado}}} =\frac{A_{\text{sólido}}}{A_{\text{vazado}}} =\frac{d_{0}^{2}}{d_{2}^{2}\cdot 0{,}4375} =\frac{(d_{0}/d_{2})^{2}}{0{,}4375}.óó
Substituindo d_{0}/d_{2}=1/1{,}135=0{,}8808 (valor obtido antes):
\left(\frac{d_{0}}{d_{2}}\right)^{2}=0{,}8808^{2}=0{,}7758.
\frac{W_{\text{sólido}}}{W_{\text{vazado}}}=\frac{0{,}7758}{0{,}4375}=1{,}773\\ (\text{aprox.}).ó
Interpretação: o eixo sólido pesa cerca de 1{,}773 vezes o eixo vazado com as mesmas propriedades (mesmo comprimento, mesmo material). Equivalentemente, o eixo vazado pesa cerca de 0{,}564 vezes o sólido (ou 56{,}4\% do peso do sólido).

Resposta

(a) d_{0}=0{,}06353\\ \mathrm{m}=63{,}53\\ \mathrm{mm}.
(b) d_{2}=0{,}07214\\ \mathrm{m}=72{,}14\\ \mathrm{mm}.
(c) \dfrac{d_{2}}{d_{0}}=1{,}135 \
\dfrac{W_{\text{sólido}}}{W_{\text{vazado}}}=1{,}773ó (o eixo vazado pesa \approx0{,}564 vezes o sólido).

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