Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque de
sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 50 MPa nem uma razão de torção de 0,80%
(O módulo de elasticidade de cisalhamento do aço é de 75 GPa .)
(a) Determine o diâmetro necessário
do eixo sólido.
(b) Determine o diâmetro externo necessário
do eixo vazado se a espessura t do eixo está especificada em d2/8
(c) Determine a razão dos diâmetros (isto é, a razão
) e a razão dos pesos dos eixos sólido e vazado.
(O módulo de elasticidade de cisalhamento do aço é de 75 GPa .)
(a) Determine o diâmetro necessário
(b) Determine o diâmetro externo necessário
(c) Determine a razão dos diâmetros (isto é, a razão
Passo 1
O enunciado pede que projetemos um eixo que deve transmitir um torque e satisfaça dois limites: tensão de cisalhamento máxima e “razão de torção” máxima. Vou listar claramente os dados e as perguntas.
Dados fornecidos:
Observações sobre unidades (vou usar o SI consistentemente):
,
,
.
Perguntas:
(a) Determinar o diâmetro necessário do eixo sólido.
(b) Determinar o diâmetro externo do eixo vazado para o qual a espessura é
.
(c) Determinar a razão e a razão dos pesos (ou seja, das áreas transversais) do eixo sólido e do eixo vazado.
(a) Determinar o diâmetro necessário
(b) Determinar o diâmetro externo
(c) Determinar a razão
Passo 2
Principais fórmulas da torção que vamos usar (explico cada termo):
- Tensão cortante máxima em uma seção circular sujeita a torque:
onde
é o torque aplicado (em
),
é o raio externo (em
) e
é o momento polar de inércia da seção (em
).
- Para um eixo sólido de diâmetro
:
- Para um eixo circular vazado com diâmetro externo
e interno :
- Relação tensão-deformação para cisalhamento (material linear elástico):
onde
é a deformação de cisalhamento (adimensional). Neste problema a “razão de torção” dada pode ser interpretada como a máxima deformação de cisalhamento admissível
. Assim, a partir disso podemos calcular uma tensão correspondente
. Se esta tensão for maior que
, então a restrição de tensão controla o projeto; caso contrário, a restrição de deformação controla.
Vou usar essas fórmulas para achar
e
.
Passo 3
Resolver (a) — diâmetro do eixo sólido usando a restrição de tensão.
Para o eixo sólido:
Isolando
quando
:
Agora substituo números (conversão de unidades primeiro):
Calcule o radicando:
Tomando a raiz cúbica:
Portanto o diâmetro do eixo sólido, controlado pela tensão admissível, é aproximadamente
.
Passo 4
Verificação da restrição de deformação para o eixo sólido (ver se ela é mais severa):
Calcule a tensão correspondente à deformação admissível:
Comparando:
A tensão correspondente à deformação admissível é muito maior que
, logo a restrição de tensão é a que controla o projeto do eixo sólido. Assim
calculado no passo anterior é o correto.
Passo 5
Resolver (b) — diâmetro externo
do eixo vazado, com espessura
.
Primeiro relacionar o diâmetro interno
com
. A espessura é a metade da diferença entre externo e interno:
Isolando
:
Logo a razão
.
Passo 6
Expressar
para o vazado e resolver para
.
Para um eixo vazado:
Substituindo
, temos
Isolando
com
:
Substituindo valores numéricos:
Raiz cúbica:
Portanto o diâmetro externo do eixo vazado é aproximadamente
.
Passo 7
Verificação da restrição de deformação para o vazado:
Como
e
são os mesmos, a tensão correspondente à deformação admissível continua sendo
, muito maior que
. Logo a restrição de tensão também controla para o eixo vazado; assim
calculado no passo anterior é apropriado.
Passo 8
Calcular a razão dos diâmetros
.
Usando os valores numéricos:
Passo 9
Calcular a razão dos pesos (proporcional à área da seção transversal). Vou fornecer a razão “peso do eixo sólido : peso do eixo vazado”.
Área do sólido:
Área do vazado:
Com
, temos
.
Assim a razão das áreas (e, portanto, dos pesos) é
Substituindo
(valor obtido antes):
Interpretação: o eixo sólido pesa cerca de
vezes o eixo vazado com as mesmas propriedades (mesmo comprimento, mesmo material). Equivalentemente, o eixo vazado pesa cerca de
vezes o sólido (ou
do peso do sólido).
Resposta
(a)
(b)
(c) \
(o eixo vazado pesa
vezes o sólido).
(b)
(c)