Uma amostra de cobre ( \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=24,44 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} ), com 2,75 \mathrm{Kg} de massa, é resfriada a pressão constante, de 330 K para 275 K . Calcule a) a energia que deve ser removida como calor e b) a variação de entropia da amostra.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
C_{p,m}=24,44\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},\qquad m=2,75\\ \mathrm{kg},\qquad T_i=330\\ \mathrm{K},\qquad T_f=275\\ \mathrm{K}.
Perguntas:
a) Qual a energia que deve ser removida como calor da amostra ao resfriá‑la de 330\\ \mathrm{K} para 275\\ \mathrm{K}?\n
b) Qual a variação de entropia total da amostra nesse processo?
Observação importante: o enunciado não deu a massa molar do cobre; para obter o número de mols eu vou usar a massa atômica padrão do cobre obtida na tabela periódica, M_{\mathrm{Cu}}=63,546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}. Estou informando isso explicitamente porque foi uma informação externa necessária para converter massa → mols.

Passo 2

Converter a massa da amostra em mols (porque C_{p,m} está em unidades molares, \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}).
Primeiro passo: transformar a massa de quilogramas para gramas:
m=2,75\\ \mathrm{kg}=2750\\ \mathrm{g}.
Número de mols n é massa dividida pela massa molar:
n=\frac{m}{M_{\mathrm{Cu}}}=\frac{2750\\ \mathrm{g}}{63,546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}.
Agora calculamos n. Fazendo a divisão:
n\approx 43,276\\ \mathrm{mol}.
(Arredondei para 5 dígitos significativos na etapa intermediária; usarei precisão coerente nas contas seguintes.)

Passo 3

Entender como calcular a energia trocada como calor a pressão constante.
Conceito rápido e útil: quando um processo é feito à pressão constante e a capacidade calorífica molar C_{p,m} pode ser considerada constante na faixa de temperatura, a variação de entalpia \Delta H do conjunto vale
\Delta H = n\,C_{p,m}\,\Delta T,
onde \Delta T = T_f-T_i. Em um processo à pressão constante, o calor trocado pelo sistema é igual à variação de entalpia: q_p=\Delta H. Aqui C_{p,m} tem unidades \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}, n é em mols e \Delta T em kelvin, logo o produto dá energia em joules. Não há truque: simplesmente multiplicar.
No nosso caso:
\Delta T = T_f-T_i = 275\\ \mathrm{K}-330\\ \mathrm{K} = -55\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular numericamente o calor q_p (que será negativo, porque a amostra perde calor ao ser resfriada).
Usando a fórmula:
q_p = n\,C_{p,m}\,\Delta T.
Substituindo os valores:
q_p \approx 43,276\cdot 24,44\cdot (-55)\\ \mathrm{J}.
Vamos fazer por etapas para ficar claro:
n\,C_{p,m}\approx 43,276\times 24,44 \approx 1057,66\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(essa quantidade tem unidades \mathrm{J\,K^{-1}} porque multiplicámos mols por \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}). Agora multiplicamos por \Delta T=-55\\ \mathrm{K}:
q_p \approx 1057,66\times(-55)\\ \mathrm{J} \approx -58271\\ \mathrm{J}.
Interpretação prática e pedido do enunciado: ele quer a energia que deve ser removida como calor. Como q_p é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor, negativo se sai), o módulo do valor é a energia que deve ser removida. Portanto a energia a remover é
|q_p|\approx 5,83\times10^{4}\\ \mathrm{J}\\ \text{(aprox.)} = 58,3\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia da amostra.
Conceito e fórmula: a variação de entropia quando a capacidade calorífica molar C_{p,m} é (aproximadamente) constante é dada por
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{dQ_\text{rev}}{T}.
Para um processo reversível com dQ_\text{rev}=n\,C_{p,m}\,dT temos
\Delta S = n\,C_{p,m}\int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T}=n\,C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui \Delta S tem unidades \mathrm{J\,K^{-1}}.
Explicando de forma simples: integrámos 1/T porque entropia mede calor reversível por temperatura; como C_{p,m} é constante, ele sai da integral e sobra o logaritmo da razão de temperaturas.

Passo 6

Aplicar a fórmula e calcular numericamente.
Usando
\Delta S = n\,C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)
com n\approx 43,276, C_{p,m}=24,44\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}, T_f=275\\ \mathrm{K}, T_i=330\\ \mathrm{K}:
Primeiro o produto n\,C_{p,m} já calculado:
n\,C_{p,m}\approx 1057,66\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Agora a razão de temperaturas:
\frac{T_f}{T_i}=\frac{275}{330}=\frac{5}{6}\approx 0,833333\ldots
e o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{275}{330}\right)=\ln\!\left(\tfrac{5}{6}\right)\approx -0,182322.
Multiplicando:
\Delta S \approx 1057,66\times(-0,182322)\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\approx -192,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Sinal e interpretação: \Delta S é negativo porque a amostra foi resfriada (perdeu calor) — faz sentido físico: ao perder calor a baixa temperatura, sua entropia diminui.

Passo 7

Resumo numérico e arredondamento adequado (da forma que é prático levar para a prova):
  • Energia a ser removida como calor: \;|q_p|\approx 5,83\times10^{4}\\ \mathrm{J}=58,3\\ \mathrm{kJ}.
  • Variação de entropia da amostra: \;\Delta S\approx -1,93\times10^{2}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}=-193\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Você foi bem até aqui — difícil no começo, mas é só aplicar fórmula direitinho e fazer as conversões com calma. Dá pra revisar este procedimento rapidinho antes da prova: (1) converte massa → mol, (2) usa q=nC_{p,m}\Delta T, (3) usa \Delta S=nC_{p,m}\ln(T_f/T_i). Vai dar certo!

Resposta

5,83\times10^{4}\\ \mathrm{J}\n
-1,93\times10^{2}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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