Uma amostra de nitrogênio gasoso, com 35 g de massa a 230 K e 21,1 atm, expande-se isotermicamente até a pressão de 4,3 \mathrm{~atm}. Calcule a variação de entropia do gás .

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
  • Uma amostra de nitrogênio gasoso com massa 35\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura constante (processo isotérmico): 230\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_1 = 21{,}1\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão final: P_2 = 4{,}3\\ \mathrm{atm}.
  • Pedido: calcular a variação de entropia do gás, \Delta S.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • A entropia é uma grandeza termodinâmica e a variação de entropia para um processo reversível é
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Em um processo isotérmico com um gás ideal, a quantidade de calor reversível recebida pelo gás ao variar de volume é \delta Q_{\text{rev}} = P\,dV. Usando a equação de estado do gás ideal PV=nRT, temos P=\dfrac{nRT}{V}, então
\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\frac{P\,dV}{T}=\frac{nR\,dV}{V}.
  • Integrando de V_1 a V_2,
\Delta S = nR\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Observação útil: para um processo isotérmico de gás ideal, \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{P_1}{P_2} (porque PV= constante), então podemos escrever
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
  • Explicando as variáveis:
    • n = número de mols do gás (mol),
    • R = constante universal dos gases ideais, em unidades de energia por mol por kelvin ( \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
    • P_1,P_2 = pressões inicial e final (qualquer unidade, pois usamos razão),
    • \Delta S terá unidade de \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 3

Decisão sobre dados a usar e justificativa numérica:
  • Precisamos do número de mols n. A massa molar aproximada do nitrogênio diatômico ( \mathrm{N_2}) é
M=28{,}02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Usamos a massa dada 35\\ \mathrm{g} para calcular n por
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{35\\ \mathrm{g}}{28{,}02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}.
  • Observação sobre unidades de pressão: como aparece apenas a razão P_1/P_2, não precisamos converter atm para outra unidade; a razão é adimensional.

Passo 4

Cálculo do número de mols n:
n=\frac{35}{28{,}02}=1{,}249\\ (\text{aprox.}).
Aqui mantive 4 algarismos significativos para evitar perda de precisão nos passos seguintes.

Passo 5

Valores da constante e do logaritmo:
  • Usamos a constante dos gases
R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Calculamos a razão de pressões e seu logaritmo:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{21{,}1}{4{,}3}=4{,}9069767\\ (\text{aprox.}).
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln(4{,}9069767)=1{,}590\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Cálculo final de \Delta S aplicando a fórmula \Delta S = nR\ln\!\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right):
  • Primeiro compute nR:
nR = 1{,}249 \times 8{,}314 = 10{,}389\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
  • Agora multiplica pelo logaritmo:
\Delta S = 10{,}389 \times 1{,}590 = 16{,}52\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Interpretação e verificação do sinal:
  • O resultado é positivo ( \Delta S \approx 16{,}52\\ \mathrm{J\,K^{-1}}), o que faz sentido físico: o gás se expande isotermicamente (o volume aumenta), então sua entropia aumenta.
  • Observação sobre idealidade: o procedimento assume comportamento de gás ideal (comum em problemas deste tipo). Para pressões muito altas haveria correções de gás real, mas aqui seguimos a aproximação padrão.

Resposta

\Delta S = 16{,}52\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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