Uma amostra extraída de uma população com distribuição normal forneceu os resultados:
3,0 \quad 3,2 \quad 3,4 \quad 2,8 \quad 3,1 \quad 2,9 \quad 3,0 \quad 3,2 \quad 2,9 \quad 3,1
a) Construa IC’s com 90 \%, 95 \% e 99 \% para a média populacional. Comente os resultados.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=10 extraída de uma população com distribuição normal, sem saber o desvio padrão populacional. Pede-se construir intervalos de confiança (IC) para a média populacional com níveis de confiança de 90\%, 95\% e 99\%. Como \sigma é desconhecido, usaremos a distribuição de Student- t com n-1=9 graus de liberdade. Precisamos calcular a média amostral \bar{x}, o desvio-padrão amostral s e os valores críticos t_{\alpha/2,\,9} para cada nível de confiança.

Passo 2

Calculemos a média e o desvio-padrão amostral:
\bar{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{3,0+3,2+3,4+2,8+3,1+2,9+3,0+3,2+2,9+3,1}{10} = 3,06.
O desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2} \approx \sqrt{\frac{0{,}2840}{9}} \approx 0,178.

Passo 3

Para o IC de 90\%, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O valor crítico é t_{0,05,9}\approx1,833. A margem de erro é
E_{90} = t_{0,05,9}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 1{,}833\;\frac{0{,}178}{\sqrt{10}} \approx 0,103.
Logo,
\text{IC}_{90\%}:\quad \bar{x}\pm E_{90} =3,06\pm0,103 =[2,957;\,3,163].

Passo 4

Para o IC de 95\%, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O valor crítico é t_{0,025,9}\approx2,262. A margem de erro é
E_{95} = 2{,}262\;\frac{0{,}178}{\sqrt{10}} \approx 0,127.
Portanto,
\text{IC}_{95\%}:\quad 3,06\pm0,127 =[2,933;\,3,187].

Passo 5

Para o IC de 99\%, \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005. O valor crítico é t_{0,005,9}\approx3,250. A margem de erro é
E_{99} = 3{,}250\;\frac{0{,}178}{\sqrt{10}} \approx 0,183.
Assim,
\text{IC}_{99\%}:\quad 3,06\pm0,183 =[2,877;\,3,243].
Comentário: à medida que o nível de confiança aumenta, o intervalo se alarga, indicando maior probabilidade de conter a verdadeira média ao custo de menor precisão.

Resposta

90%: [2,96;\,3,16]
95%: [2,93;\,3,19]
99%: [2,88;\,3,24]

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