Em uma amostra aleatória coletada com 5 fornos micro-ondas (da mesma marca), observou-se que o custo médio do reparo no sensor de comando é de \mathrm{R} \ 25,00 , com desvio de\mathrm{R} $2,50 . Supondo que a variável seja normalmente distribuída, construa um intervalo comáí95 %$ de confiança para a média do custo de reparo nos micro-ondas.
Em uma amostra aleatória com 30 fornos, foi observado um custo médio de \mathrm{R} \ 22,00 , mantendo-se o desvio-padrão. Construa intervalos comã90 %, 95 % e99 %$ de confiança para média do custo de reparo em micro-ondas. Comente as diferenças encontradas.

Passo 1

O enunciado traz duas situações de amostras de custo de reparo de micro-ondas, Assume distribuição normal e desvio-padrão amostral s=\mathrm{R}\$\,2,50.
Na primeira amostra temos n=5 e \bar x=25. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para a média.
Na segunda amostra temos n=30 e \bar x=22. Queremos intervalos de confiança de 90\%, 95\% e 99\% para a média, usando o mesmo s.

Passo 2

Para n=5 a distribuição de Student com 4 graus de liberdade dá o valor crítico
t_{0,975;4}\approx2{,}776.
A margem de erro é
E = t_{0,975;4}\,\frac{s}{\sqrt n} =2{,}776\;\frac{2{,}50}{\sqrt5} \approx3{,}10.
Logo o intervalo de confiança 95\% é
25\pm3{,}10 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[21{,}90,\;28{,}10\bigr].

Passo 3

Para n=30 usamos Student com 29 graus de liberdade. A fórmula geral da margem de erro é
E = t_{1-\tfrac\alpha2;\,29}\;\frac{s}{\sqrt{30}} = t_{1-\tfrac\alpha2;\,29}\;\frac{2{,}50}{\sqrt{30}} = t_{1-\tfrac\alpha2;\,29}\times0{,}456.
  1. Para 90\%, t_{0,95;29}\approx1{,}699,
E_{90\%}=1{,}699\times0{,}456\approx0{,}78,
intervalo \bigl[22\pm0{,}78\bigr]=[21{,}22,\;22{,}78].
2. Para 95\%, t_{0,975;29}\approx2{,}045,
E_{95\%}=2{,}045\times0{,}456\approx0{,}93,
intervalo \bigl[22\pm0{,}93\bigr]=[21{,}07,\;22{,}93].
3. Para 99\%, t_{0,995;29}\approx2{,}756,
E_{99\%}=2{,}756\times0{,}456\approx1{,}26,
intervalo \bigl[22\pm1{,}26\bigr]=[20{,}74,\;23{,}26].

Passo 4

Conforme a confiança aumenta, o fator t cresce e o intervalo fica mais amplo.
Já o aumento do tamanho da amostra (de 5 para 30) reduz a margem de erro (pois s/\sqrt n diminui), tornando o intervalo mais estreito mesmo para níveis de confiança elevados.

Resposta

Intervalo 95\% para n=5: [21{,}90,\;28{,}10]
Intervalo 90\% para n=30: [21{,}22,\;22{,}78]
Intervalo 95\% para n=30: [21{,}07,\;22{,}93]
Intervalo 99\% para n=30: [20{,}74,\;23{,}26]

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