Uma amostra de gás expande-se, reversivelmente, a partir de uma pressão de 50 kPa e de um volume inicial de 1 \mathrm{~m}^{3} para um volume final de 2 \mathrm{~m}^{3}. Durante a expansăo, a relação entre a pressão e o volume é dada pela equação: P=k \cdot V^{2} onde k=10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{8}. Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. ( 2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão reversível de volume inicial V_i=1\\ \mathrm{m}^3 para volume final V_f=2\\ \mathrm{m}^3, quando a pressão durante o processo satisfaz a lei
P = k \cdot V^{2}
com constante k=10\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8}. Foi também informada a pressão inicial P_i=50\\ \mathrm{kPa}, mas a relação funcional entre P e V é dada acima e será usada para calcular o trabalho pedido.
Informações relevantes:
  • V_i = 1\\ \mathrm{m}^3 (volume inicial).
  • V_f = 2\\ \mathrm{m}^3 (volume final).
  • Relação P(V)=kV^{2} com k = 10\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8}.
  • Pedido: trabalho realizado pelo gás durante a expansão reversível (trabalho realizado pelo gás = trabalho positivo quando o gás se expande).

Passo 2

Conceito e fórmula do trabalho em processo reversível: para um processo quasistático (reversível) o trabalho realizado pelo gás ao expandir-se de V_i a V_f é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V,
onde P é a pressão do gás como função do volume ao longo do processo. Aqui:
  • W é o trabalho realizado pelo gás, em joules ( \mathrm{J});
  • P é a pressão, em \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} (ou Pa);
  • V é o volume, em \mathrm{m}^{3};
  • \mathrm{d}V é o diferencial de volume.
Como o gás se expande ( V_f>V_i), o integrando P é positivo, então W será positivo — coerente com “trabalho realizado pelo gás”.

Passo 3

Substitui-se a expressão dada P=kV^{2} na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f} k V^{2}\,\mathrm{d}V.
Aqui k é constante, então pode sair da integral:
W = k \int_{V_i}^{V_f} V^{2}\,\mathrm{d}V.

Passo 4

Regra de integração necessária: para qualquer n \neq -1,
\int V^{n}\,\mathrm{d}V = \frac{V^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=2, portanto
\int V^{2}\,\mathrm{d}V = \frac{V^{3}}{3}.
Aplicando como integral definida entre V_i e V_f:
\int_{V_i}^{V_f} V^{2}\,\mathrm{d}V = \left.\frac{V^{3}}{3}\right|_{V_i}^{V_f} = \frac{V_f^{3}-V_i^{3}}{3}.

Passo 5

Agora calculamos com os números dados. Primeiro o termo cúbico dos volumes:
V_f^{3} = (2\\ \mathrm{m}^3)^{3} = 8\\ \mathrm{m}^{9}, \qquad V_i^{3} = (1\\ \mathrm{m}^3)^{3} = 1\\ \mathrm{m}^{9}.
Logo
V_f^{3}-V_i^{3}=8-1=7\\ \mathrm{m}^{9}.
Substituindo na expressão de W:
W = k\cdot\frac{V_f^{3}-V_i^{3}}{3} = \frac{k}{3}\,(7).
Substituindo k=10\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8}:
W = \frac{10}{3}\times 7\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = \frac{70}{3}\\ \mathrm{J}.
Observação dimensional rápida: k tem unidades \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8} e multiplica V^{3} com unidades \mathrm{m}^{9}, resultando em \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}, portanto consistente.

Passo 6

Avaliação numérica e interpretação final:
\frac{70}{3}\\ \mathrm{J} \approx 23{,}333\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado pelo gás durante a expansão reversível é \dfrac{70}{3}\\ \mathrm{J} (aproximadamente 23{,}33\\ \mathrm{J}).
Comentário sobre a pressão inicial informada: a pressão inicial fornecida no enunciado ( 50\\ \mathrm{kPa}) não entra no cálculo porque a relação funcional P=kV^{2} com k dado define a pressão em qualquer volume; foi usada essa lei para calcular o trabalho. (Se houvesse inconsistência numérica entre P_i e kV_i^{2}, ignora-se o valor isolado de P_i e usa-se a lei P(V) que descreve o processo.)

Resposta

\dfrac{70}{3}\\ \mathrm{J}\approx 23{,}33\\ \mathrm{J}

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