Um fenômeno natural bastante interessante é o decaimento radioativo, no qual um elemento radioativo decai { }^{1} em outro elemento, emitindo, no processo, radiação. Os átomos desse elemento vão se “desintegrando” à medida que o tempo passa: inicialmente, com bastantes átomos, muitos decaem, mas à medida que o tempo passa, o número de átomos originais diminui, o que diminui também o número de decaimentos. Nesse tipo de fenômeno é possível se determinar a “meia-vida” do decaimento, ou seja, o tempo em que o número de átomos leva para cair pela metade. Utilizamos o símbolo t_{1 / 2} para representar a meia-vida.
Vamos simular o decaimento radiativo com arremessos de dados. Cada dado representa um átomo radioativo.
Jogue, após chacoalhar bem, 150 dados e verifique quantos saíram com determinada face voltada para cima (por exemplo, a face 6). Conte e retire esses dados do conjunto e, após chacoalhar bem os restantes, jogue os dados novamente. Mais uma vez, conte e retire os dados que saíram com a face escolhida voltada para cima. Repita o procedimento 12 vezes.
Faça uma tabela para apresentar o número de dados que foram sobrando em função do número do arremesso. O que a tabela ilustra? O que você pode perceber? Visualmente, qual foi o “tempo” (número de jogadas) de meia-vida? Basta verificar de quantas em quantas jogadas o número de dados vai caindo pela metade.
'}, {
{ }^{1} O decaimento consiste na emissão de alguma partícula do núcleo atômico. Por exemplo, o amerício-241 ( { }^{241} \mathrm{Am} ) possui 95 prótons e 146 nêutrons, e decai emitindo uma partícula α (que é um núcleo de Hélio: 2 prótons e 2 nêutrons), tornando-se Neptúnio- 237\left({ }^{237} \mathrm{~Np}\right), que tem 93 prótons e 144 nêutrons: { }^{241} \mathrm{Am} \rightarrow{ }^{4} \alpha+{ }^{237} \mathrm{~Np}. A meia-vida do { }^{241} \mathrm{Am} é de 432.6 anos.
Passo 1
O enunciado pede que você faça uma simulação do decaimento removendo dados que saem com uma face escolhida (por exemplo, face 6), começando com 150 dados e repetindo o procedimento 12 vezes. As tarefas pedidas são:
Fazer uma tabela com o número de dados que sobraram em função do número do arremesso (ou seja, registrar N_n para n=0,1,\dots,12).
Dizer o que essa tabela ilustra e o que você percebe a partir dela.
Determinar, visualmente, qual foi o “tempo” de meia-vida (número de jogadas necessárias para o número de dados cair pela metade).
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Número inicial de dados: N_0 = 150.
Em cada jogada, cada dado tem probabilidade p=\tfrac{1}{6} de “decair” (saír com a face escolhida).
Procedimento: após cada jogada, contar os dados com a face escolhida, removê-los, e jogar novamente com os restantes; repetir 12 vezes.
Passo 2
Modelo teórico e ideia básica (explicação didática).
Cada dado é independente e, em cada jogada, tem probabilidade p=\tfrac{1}{6} de ser removido. Isso significa que, se naquele momento há N dados, o número de dados que “decai” nessa jogada tem distribuição binomial com média Np e variância Np(1-p). Explicando sem jargão: em média espera-se remover Np dados naquela jogada, mas haverá flutuações.
Como removemos os dados removidos e continuamos, o número esperado de dados que sobra depois de n jogadas é obtido multiplicando repetidamente pelo fator de sobrevivência por jogada (1-p). Assim, o valor médio esperado de N_n (número de dados restantes depois de n jogadas) é
N_n = N_0(1-p)^n.
Aqui cada variável significa:
N_0: número inicial de dados (aqui 150).
p: probabilidade de um dado “decair” em uma jogada (aqui \tfrac{1}{6}).
n: número de jogadas (inteiro não negativo).
N_n: número esperado de dados restantes após n jogadas.
Passo 3
Definição e fórmula da meia-vida no contexto discreto.
Meia-vida t_{1/2} é o número de jogadas necessário para que o número esperado de dados caia à metade, isto é, para satisfazer
(Obs.: os números foram arredondados para três casas decimais quando necessário. Eles representam o valor médio esperado; o resultado real do experimento flutuará em torno desses valores.)
Passo 5
Como realizar a experiência e construir a tabela prática (passo a passo operacional e dicas).
Coloque 150 dados numa superfície e escolha uma face como “decay” (por exemplo, face 6). Anote N_0=150.
Agite todos os 150 dados e jogue-os. Conte quantos saíram com a face escolhida; chame esse número d_1. Registre d_1 e remova esses d_1 dados do conjunto.
Agora você tem N_1 = N_0 - d_1 dados restantes. Agite esses N_1 dados e jogue novamente. Conte quantos saíram com a face escolhida; esse é d_2. Registre e remova. Assim obtém N_2 = N_1 - d_2.
Repita até ter feito 12 jogadas, registrando para cada n: d_n (número removido nessa jogada) e N_n (restante após remoção).
Monte a tabela com colunas: n, d_n, N_{n-1} (antes da jogada) e N_n (após a jogada). A tabela te dará visivelmente como o número de dados decresce.
Dicas práticas:
Chacoalhe bem e jogue todos os dados juntos para manter independência entre dados.
Anotar os números imediatamente evita confusão.
Fazer a experiência uma ou duas vezes (repetições independentes) ajuda a ver as flutuações estatísticas.
Passo 6
Como interpretar a tabela: o que ela ilustra e o que você pode perceber.
A tabela ilustra um decaimento geométrico/exponencial discreto: a cada jogada o número esperado de sobreviventes é multiplicado por um fator 1-p=\tfrac{5}{6}. Em termos visuais, a curva N_n vs n é uma decaída rápida que se torna mais lenta à medida que resta menos dados.
O que se percebe na prática:
Em média, o número cai de forma multiplicativa, não por subtrações constantes (ou seja, cai por um fator a cada jogada).
Há flutuações aleatórias: às vezes mais dados decaem numa jogada do que a média, às vezes menos. Essas flutuações vêm da natureza binomial do processo.
A meia-vida teórica não depende de N_0: se você tivesse começado com 300 dados, a fração que restaria após n jogadas seria a mesma, e o t_{1/2} (em jogadas) seria igual.
Passo 7
Como determinar visualmente a meia-vida a partir dos dados experimentais.
Método direto (visual):
Localize na sua tabela o N_n que está mais próximo de N_0/2 = 75. Se um N_n for exatamente 75, então t_{1/2}=n. Normalmente um N_n estará acima de 75 e o próximo N_{n+1} estará abaixo; então a meia-vida está entre n e n+1, e visualmente pode-se dizer “cerca de n+0{,}5” ou “cerca de 4 jogadas”.
Interpolação mais precisa (recomendado porque o decaimento é exponencial):
Como a queda é exponencial, é melhor interpolar no espaço logarítmico. Suponha que N_a > N_0/2 > N_b para a<b. Então estimativa por interpolação exponencial:
t_{1/2} \approx a + \frac{\ln\!\big(\tfrac{N_0}{2}\big)-\ln(N_a)}{\ln(N_b)-\ln(N_a)}\,(b-a).
Aplicando isso ao nosso caso teórico: N_3\approx86{,}806 e N_4\approx72{,}338. Colocando a=3, b=4, obtemos
o que coincide com o valor teórico obtido antes. Na prática, faça o mesmo com seus dados experimentais para uma estimativa precisa.
Passo 8
Como estimar a meia-vida por ajuste (método mais robusto) e cálculo dos erros (resumo prático).
Tome os pares (n,\;N_n) (omitindo valores N_n=0 porque \ln 0 não existe). Calcule y_n=\ln(N_n) e faça um ajuste linear y_n \approx A + m n por mínimos quadrados.
Explicando as variáveis da regressão:
n é a jogada (variável independente).
y_n=\ln(N_n) é o log do número restante.
O declive m estimado corresponderá a m\approx \ln(1-p) (um número negativo).
Então t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{-m}.
Fórmula prática para o declive m (do ajuste linear simples):
m = \frac{\sum (n-\bar n)(\ln(N_n)-\overline{\ln N})}{\sum (n-\bar n)^2},
onde \bar n e \overline{\ln N} são as médias das colunas. Depois calcular t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{-m}.
Erro: a incerteza do declive dá a incerteza em t_{1/2} por propagação. Não vou entrar em fórmulas longas aqui, mas o software (ou mesmo uma calculadora estatística) fornece erro padrão do declive; então propaga-se para t_{1/2} por derivada.
Passo 9
Resumo prático para o exame (roteiro rápido que você pode escrever na folha)
Apresente o modelo: N_n = N_0(1-p)^n, p=\tfrac{1}{6}, N_0=150.
Derive t_{1/2} pela equação (1-p)^{t_{1/2}}=1/2 e mostre t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{-\ln(1-p)}.
Substitua p=\tfrac{1}{6} e calcule t_{1/2}\approx 3{,}80 jogadas.
Diga que visualmente a meia-vida cai entre 3 e 4 jogadas (aproximadamente 4) e, se tiver dados experimentais, explique rapidamente que deve usar interpolação logarítmica ou ajuste linear em \ln(N_n) para uma estimativa mais precisa.
Conclua comentando as flutuações estatísticas esperadas (cada remoção é binomial, com desvio típico da ordem de \sqrt{Np(1-p)} no número removido numa jogada), então a tabela experimental vai flutuar ao redor da curva teórica.
Resposta
A tabela ilustra um decaimento geométrico/exponencial discreto: N_n = 150\left(\tfrac{5}{6}\right)^n.
Em média percebe-se que o número de dados é multiplicado por \tfrac{5}{6} a cada jogada, com flutuações estatísticas (binomiais) ao redor da média.
Visualmente a meia-vida é de cerca de 4 jogadas.
Valor teórico da meia-vida: t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\ln(6/5)} \approx 3{,}80 jogadas.