Uma amostra gasosa (ideal) tem análise seca: 70 \% \mathrm{~mol} \mathrm{~N}_{2}, 20 \% \mathrm{~mol} \mathrm{O}_{2}, 10 \% \mathrm{~mol} \mathrm{CO}_{2}. A 1,00 \mathrm{~atm} e 25^{\circ} \mathrm{C}, qual a massa molar média e a densidade?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra gasosa ideal com análise seca e pede duas coisas: massa molar média e densidade nas condições fornecidas.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
  • Composição molar: \,70\%\\ \text{mol}\\ \mathrm{N_2},\;20\%\\ \text{mol}\\ \mathrm{O_2},\;10\%\\ \text{mol}\\ \mathrm{CO_2}.
  • Pressão: \,1,00\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura: \,25^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido:
  1. Calcular a massa molar média da mistura (ou massa molar média molar, em \mathrm{g\cdot mol^{-1}} ou \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}).
  2. Calcular a densidade da mistura gasosa nas condições dadas (em \mathrm{kg\cdot m^{-3}}).

Passo 2

Entendendo o conceito de massa molar média para mistura gasosa (aula rápida e prática).
  • Quando a composição é dada em frações molares (ou percentuais molares), a massa molar média \bar{M} da mistura é a média ponderada das massas molares de cada componente, ponderada pelas frações molares.
  • Fórmula geral:
\bar{M}=\sum_i y_i M_i
onde:
  • y_i é a fração molar do componente i (por exemplo, y_{\mathrm{N_2}}=0,70),
  • M_i é a massa molar do componente i (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}} ou \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}).
Valores de massas molares usadas (valores usuais arredondados para engenharia):
  • M_{\mathrm{N_2}}=28,02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}
  • M_{\mathrm{O_2}}=32,00\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}
  • M_{\mathrm{CO_2}}=44,01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}

Passo 3

Calcular a massa molar média passo a passo (fazendo as contas de forma que dê para reproduzir na prova).
Escrever a expressão com as frações molares:
\bar{M}=0,70\cdot 28,02 + 0,20\cdot 32,00 + 0,10\cdot 44,01
Calcular cada termo:
0,70\cdot 28,02 = 19,614
0,20\cdot 32,00 = 6,400
0,10\cdot 44,01 = 4,401
Somando:
\bar{M}=19,614 + 6,400 + 4,401 = 30,415\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}
Converter para \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} (para usar na equação dos gases ideais a seguir):
\bar{M}=0,030415\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}
Dica de prova: sempre deixe \bar{M} em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} se for usar R no SI ( \mathrm{J/(mol\cdot K)}).

Passo 4

Explicando como obter a densidade de um gás ideal (fórmula e significado das variáveis).
  • A equação dos gases ideais é:
pV = nRT
onde:
  • p é a pressão ( \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ( \mathrm{m^3}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura em Kelvin ( \mathrm{K}).
  • Relação entre densidade \rho (massa por volume) e a molaridade:
    massa da amostra = n\bar{M}, portanto \rho = \dfrac{n\bar{M}}{V}.
    Usando n/V = p/(RT) da equação dos gases ideais, obtemos:
\rho = \frac{p\,\bar{M}}{R\,T}
onde:
  • \rho em \mathrm{kg\cdot m^{-3}} quando \bar{M} está em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}, p em \mathrm{Pa}, R em \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T em \mathrm{K}.

Passo 5

Converter as unidades dadas para o SI e calcular a densidade.
  • Converter pressão: \,1,00\\ \mathrm{atm} = 1,01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperatura: \,25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K}.
  • Já temos \bar{M}=0,030415\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} e R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Aplicar a fórmula:
\rho = \frac{p\,\bar{M}}{R\,T} = \frac{1,01325\times 10^{5}\cdot 0,030415}{8,314\cdot 298,15}
Fazendo as contas (mostrando os passos intermediários para conferência):
\text{numerador} = 1,01325\times 10^{5}\times 0,030415 \approx 3081,803\\ (\text{unidade: Pa}\cdot\mathrm{kg\cdot mol^{-1}})
\text{denominador} = 8,314 \times 298,15 \approx 2478,957\\ (\text{unidade: J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} = \text{Pa}\cdot\mathrm{m^3}\cdot\mathrm{mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times K)
\rho \approx \frac{3081,803}{2478,957} \approx 1,244\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
(Se preferir calcular usando o volume molar, chega-se ao mesmo: V_m = \dfrac{RT}{p}\approx 0,02446\\ \mathrm{m^3\cdot mol^{-1}} e \rho=\dfrac{\bar{M}}{V_m}.)

Passo 6

Interpretação final rápida e dica de prova.
  • Massa molar média dá uma ideia do “peso médio por mol” da mistura; é útil para converter entre mols e massa.
  • A densidade foi obtida diretamente da lei dos gases ideais; em provas muitas vezes pedem exatamente essa aplicação.
  • Dica prática: organize sempre unidades para SI antes de aplicar \rho=\dfrac{p\bar{M}}{RT}. Se esquecer de converter °C para K ou atm para Pa, o resultado vai dar errado.

Resposta

\bar{M}=30,415\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0,030415\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}
\rho \approx 1,244\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}

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