Quando uma amostra de 1 kg de água a 80^{\circ} \mathrm{C} é colocada em contato com 1 kg de ferro a 25^{\circ} \mathrm{C}, o sistema é isolado termicamente, de modo que não há troca de calor com o ambiente. Sabendo que o calor específico da água é 4186 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e o do ferro é 450 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) :
a) Calcule a temperatura final do equilíbrio térmico do sistema, ou seja, quando a água quente é colocada em contato com o ferro frio sem perda de energia para o ambiente.
b) Explique, com base nos resultados, por que a água esfria pouco, mesmo em contato com o ferro frio.

Passo 1

O enunciado dá um sistema termicamente isolado formado por 1 kg de água inicialmente a 80^\circ\mathrm{C} e 1 kg de ferro inicialmente a 25^\circ\mathrm{C}. As quantidades fornecidas são:
m_{\text{água}}=1\\ \mathrm{kg},\quad T_{\text{água, i}}=80^\circ\mathrm{C},\quad c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}ááá
m_{\text{ferro}}=1\\ \mathrm{kg},\quad T_{\text{ferro, i}}=25^\circ\mathrm{C},\quad c_{\text{ferro}}=450\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
O sistema é isolado (sem troca de calor com o ambiente). As perguntas são:
a) Calcular a temperatura final de equilíbrio térmico T_f.
b) Explicar por que a água esfria pouco, mesmo em contato com o ferro mais frio.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagar):
  • Calor específico c é a quantidade de energia necessária para alterar a temperatura de 1\\ \mathrm{kg} de uma substância em 1\\ \mathrm{K} (ou 1^\circ\mathrm{C}). Unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • A quantidade de calor trocada por uma massa m ao sofrer variação de temperatura \Delta T é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é positivo se a substância recebe calor (aumenta de temperatura) e negativo se perde calor (diminui de temperatura).
  • Em um sistema isolado, a energia térmica total se conserva. Portanto a soma dos calores trocados por todos os corpos é zero:
\sum Q = 0.
  • Observação prática importante: uma variação de temperatura de 1^\circ\mathrm{C} é igual a 1\\ \mathrm{K}, então podemos usar as temperaturas em graus Celsius diretamente nas diferenças de temperatura.

Passo 3

Montamos a equação de conservação de energia entre água e ferro. Tomando T_f como temperatura final (a mesma para os dois, em equilíbrio térmico), temos:
Q_{\text{água}} + Q_{\text{ferro}} = 0.á
Cada Q substituído por m c (T_f - T_i):
m_{\text{água}} c_{\text{água}}(T_f - T_{\text{água,i}}) + m_{\text{ferro}} c_{\text{ferro}}(T_f - T_{\text{ferro,i}})=0.ááá
Agora plugamos os números fornecidos:
1\cdot 4186\,(T_f - 80) + 1\cdot 450\,(T_f - 25)=0.

Passo 4

Desenvolvemos a expressão e isolamos T_f. Primeiro expandindo os parênteses:
4186\,T_f - 4186\cdot 80 + 450\,T_f - 450\cdot 25 = 0.
Calculamos os produtos numéricos:
4186\cdot 80 = 334880,\qquad 450\cdot 25 = 11250.
Somando os termos em T_f e os termos constantes:
(4186 + 450)\,T_f - (334880 + 11250) = 0.
4636\,T_f - 346130 = 0.
Isolando T_f:
T_f = \frac{346130}{4636}.

Passo 5

Fazendo a divisão numérica (mostrando o raciocínio):
T_f \approx 74{,}66^\circ\mathrm{C}.
(Arredondei para duas casas decimais; cálculo exato dá aproximadamente 74{,}6617^\circ\mathrm{C}.)

Passo 6

Verificação pelo cálculo dos calores para conferir conservação de energia:
  • Calor perdido pela água:
Q_{\text{água}} = 1\cdot 4186\,(74{,}6617-80)\approx 4186\cdot(-5{,}3383)\approx -22346\\ \mathrm{J}.á
  • Calor ganho pelo ferro:
Q_{\text{ferro}} = 1\cdot 450\,(74{,}6617-25)\approx 450\cdot 49{,}6617\approx +22347\\ \mathrm{J}.
Há acordo (diferença de arredondamento insignificante), ou seja, o calor perdido pela água é aproximadamente igual ao ganho pelo ferro, confirmando o resultado.

Passo 7

Explicação didática do porquê a água esfria pouco (resposta à parte b), com números e comparação simples:
  • Para alterar a temperatura de 1\\ \mathrm{kg} em 1^\circ\mathrm{C} a água precisa de 4186\\ \mathrm{J}, enquanto o ferro precisa de apenas 450\\ \mathrm{J}.
  • A razão entre os calores específicos é
\frac{c_{\text{água}}}{c_{\text{ferro}}}=\frac{4186}{450}\approx 9{,}3.á
Isto significa que, para a mesma quantidade de energia, a temperatura do ferro varia cerca de 9 vezes mais que a da água. No nosso caso, a água perde apenas cerca de 5{,}34^\circ\mathrm{C} (de 80 para 74{,}66^\circ\mathrm{C}), enquanto o ferro sobe muito: cerca de 49{,}66^\circ\mathrm{C} (de 25 para 74{,}66^\circ\mathrm{C}). Portanto a água “esfria pouco” porque tem capacidade térmica muito maior: ela armazena e cede grande quantidade de energia por grau de temperatura, exigindo grande perda de energia para mudar bastante sua própria temperatura. Em linguagem de prova: o grande c_{\text{água}}á protege a água contra grandes quedas de temperatura quando colocada em contato com substâncias de menor capacidade térmica.

Resposta

T_f \approx 74{,}66^\circ\mathrm{C}\nPorque o calor específico da água ( 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}) é muito maior que o do ferro ( 450\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}), então a água precisa ceder muita energia para diminuir sua temperatura em um grau, fazendo com que sua queda de temperatura seja pequena enquanto o ferro aquece muito.

Exercícios relacionados