(Exercício Extra) (a) Calcule o campo elétrico no eixo de simetria de um disco homogêneo de carga
e raio
.
(b) Calcule o campo elétrico de um plano infinito de densidade superficial de carga
através do exercício anterior, fazendo
. Compare com o resultado obtido via Lei de Gauss.
(b) Calcule o campo elétrico de um plano infinito de densidade superficial de carga
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o campo elétrico no eixo de simetria de um disco homogêneo de carga total
e raio . Ou seja, encontrar o vetor campo no ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, a uma distância do centro do disco (vou chamar de essa distância; geralmente assume-se ). - (b) A partir do resultado do item (a), fazer
para obter o campo de um plano infinito com densidade superficial de carga . Comparar esse resultado com o obtido pela aplicação direta da Lei de Gauss.
Informações dadas e convenções que usarei:
- Disco homogêneo de carga total
e raio . - Densidade superficial de carga (constante)
relacionada por . - Quero o campo no ponto sobre o eixo do disco, a distância
do plano do disco (eixo perpendicular passando pelo centro). - Usarei a constante
do meio (vácuo). - Direção positiva do eixo é para fora do disco no sentido do ponto (vetor unitário
).
Passo 2
Por que esse problema é resolvido por integração e qual é a ideia física?
- O disco é simétrico por rotação em torno do eixo
, então o campo no eixo só terá componente ao longo de (as componentes transversais se cancelam). - Método conveniente: decompor o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel tem carga e produz no ponto do eixo um campo cuja direção tem componente axial calculável por simetria. - Aplicamos a lei de Coulomb para um elemento de carga e integramos sobre
de até .
Vou detalhar cada passo matematicamente e explicar as fórmulas usadas.
Passo 3
Expressão para a carga de um anel e para
.
- A densidade superficial é definida como carga por unidade de área, então
- Área do anel de raio
e espessura é aproximadamente . - Assim a carga do anel é
Expliquei o que é cada símbolo:
-
é carga por unidade de área; -
é o raio do anel dentro do disco; -
é a espessura infinitesimal do anel.
Passo 4
Campo produzido por um elemento de carga (Coulomb) e geometria do anel.
- A lei de Coulomb para uma carga infinitesimal
dá um campo diferencial de módulo
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos medindo o campo.
- Para o anel, todos os pontos do anel estão à mesma distância do ponto sobre o eixo:
. - O vetor campo produzido por cada pedaço do anel tem um componente na direção axial (
) e componentes transversais. Por simetria circular, os transversais se cancelam, restando só a componente axial. Essa componente axial é obtida multiplicando por , onde é o ângulo entre a linha que liga o elemento de carga ao ponto e o eixo . Geometricamente,
- Logo o componente axial do campo produzido pelo anel inteiro é
Expliquei:
vem de
e o fator extra
dá potência
no denominador.
Passo 5
Substituir
e montar a integral total.
- Substituindo
em obtemos
- Podemos simplificar fatores:
- O campo total no ponto do eixo é a integral de
para variando de a :
Aqui
é o módulo da componente axial; o vetor campo será
(para
, aponta para
quando
).
Passo 6
Calcular a integral
por substituição.
- Faça a substituição
. Então , ou seja . - Quando
, . Quando , . - A integral vira
- Calcule a primitiva: a primitiva de
é . Multiplicando por obtemos primitiva . - Portanto a integral avaliada é
- Aqui, para pontos no eixo com
(caso usual), , então a expressão fica . (Se , a direção do campo inverte; manteremos para a derivação e depois apresento a forma vetorial geral.)
Passo 7
Substituir o resultado da integral em
e simplificar.
- Voltando para
podemos simplificar
com
no primeiro termo:
- Portanto o vetor campo no eixo (para
) é
- Em termos da carga total
e do raio (usando ), podemos escrever alternativamente
Expliquei a forma vetorial: o fator
indica direção ao longo do eixo; para
a expressão do módulo continua válidad e o sinal da direção seria
(ou usar
para indicar sentido).
Passo 8
Interpretando resultados limites úteis (ajuda na prova e intuição).
- No centro do disco,
. Colocando na fórmula:
Ou seja, o campo ao lado do disco, no eixo bem próximo ao plano, vale
. (Observação: esse valor é o limite vindo do lado do espaço; no próprio plano idealmente a definição fica sutil, mas para física de prova esse limite é o importante.)
- Para
, usando , temos , então . Faz sentido: campo distante tende a zero (disco visto como carga finita).
Passo 9
Parte (b): tomar o limite
para obter o campo do plano infinito.
- Mantendo
fixo e fazendo ,
pois o denominador cresce sem limite.
- Assim
- Conclusão: o campo de um plano infinito uniformemente carregado tem magnitude
e aponta para longe do plano se (no lado considerado). Esse valor independe de , ou seja o campo é uniforme e não decai com a distância — propriedade característica do plano infinito.
Passo 10
Comparação com a Lei de Gauss (derivação rápida via Gauss).
- A Lei de Gauss afirma que para qualquer superfície fechada,
- Para um plano infinito com densidade
, use uma superfície gaussiana em forma de “paralelepípedo” cilíndrico (tampa dupla) ou um cilindro reto com bases paralelas ao plano (o “pilha” ou “pillbox”) que corta o plano, de área de base . Pelo simetria, é perpendicular ao plano e tem o mesmo módulo em ambos os lados; as faces laterais não contribuem porque é paralelo a elas. Assim o fluxo total é . - A carga interna é
. Aplicando Gauss:
- Portanto o resultado obtido pelo limite
coincide exatamente com o resultado da Lei de Gauss.
Resposta
(a)
(b) (campo uniforme; resulta igual ao obtido pela Lei de Gauss).
(b)