Uma amostra de \mathbf{1 , 6 ~ m o l s} de gás hélio inicialmente a \mathbf{3 5 5 , 2 ~ K ~ e ~} \mathbf{0 , 4 0 0} atm é comprimido isotermicamente para \mathbf{1 , 2 0 ~ a t m}. Notando que o hélio se comporta como um gás ideal, encontre o trabalho realizado sobre o gás. Dados:
\mathbf{R} \boldsymbol{=} \mathbf{8 , 3 1 4} \mathbf{~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{m o l} \boldsymbol{.} \mathbf{K}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o trabalho realizado sobre o gás:
Dados:
n=1,6\\ \mathrm{mol}
T=355,2\\ \mathrm{K}
P_i=0,400\\ \mathrm{atm}
P_f=1,20\\ \mathrm{atm}
R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}
Pergunta: encontrar o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica (ou seja, o trabalho realizado pelo ambiente sobre o gás).

Passo 2

Entendendo o que significa “isotérmica” e como relacionar pressão e volume: uma transformação isotérmica é uma transformação a temperatura constante. Para um gás ideal, a equação de estado é
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n a quantidade de substância (mol), R a constante dos gases e T a temperatura. Mantendo T constante, temos PV= constante, logo P e V são inversamente proporcionais. Assim,
\frac{V_i}{V_f}=\frac{P_f}{P_i},
pois P_iV_i=P_fV_f.

Passo 3

Fórmula do trabalho em processo isotérmico reversível e interpretação do sinal: o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de V_i para V_f é
W_{\text{pelo gás}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.á
Para gás ideal isotérmico e reversível substituímos P=\dfrac{nRT}{V} e obtemos
W_{\text{pelo gás}}=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).á
Como o enunciado pede o trabalho realizado sobre o gás, usamos
W_{\text{sobre o gás}}=-W_{\text{pelo gás}}= -\,nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=nRT\ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right).áá
Usando a relação entre volumes e pressões dada no Passo 2, podemos também escrever
W_{\text{sobre o gás}}=nRT\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right).á
Aqui W_{\text{sobre o gás}}>0á se P_f>P_i (compressão), o que faz sentido físico: durante compressão o ambiente realiza trabalho sobre o gás.

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula com os números do enunciado. Primeiro calculamos o fator nRT:
nRT = 1,6\cdot 8,314\cdot 355,2.
Calcule passo a passo:
8,314\cdot 355,2 \approx 2953,133
nRT \approx 1,6\cdot 2953,133 \approx 4725,012.
Portanto
nRT\approx 4{,}725{,}01\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculamos o logaritmo necessário. Como explicado no Passo 3,
W_{\text{sobre o gás}}=nRT\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right).á
Substituindo P_f=1,20\\ \mathrm{atm} e P_i=0,400\\ \mathrm{atm},
\frac{P_f}{P_i}=\frac{1,20}{0,400}=3.
Então
\ln\!\left(\frac{P_f}{P_i}\right)=\ln 3\approx 1,098612289.

Passo 6

Multiplicamos nRT pelo logaritmo:
W_{\text{sobre o gás}}\approx 4725,012\cdot 1,098612289 \approx 5{,}190{,}96\\ \mathrm{J}.á
Arredondando de forma consistente com os dados (a menos algarismos significativos fornecidos), podemos dar o resultado com três algarismos significativos:
W_{\text{sobre o gás}}\approx 5{,}19\times 10^{3}\\ \mathrm{J}=5{,}19\\ \mathrm{kJ}.á

Resposta

W_{\text{sobre o gás}}=5{,}19\times 10^{3}\\ \mathrm{J}á

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