Uma amostra de solo rural apresenta permissividade relativa \varepsilon_{r}=14 e condutividade \sigma=10^{-2} \frac{S}{m}. Determine se a amostra de solo rural é um bom dielétrico, bom condutor ou quase condutor nas frequências de F1
=12.84 \mathrm{~K} \mathrm{~Hz} ; \mathrm{F2}=12.84 \mathrm{MHz} e F3
=12.84 \mathrm{GHz}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a classificação da amostra em cada frequência:
  • Permissividade relativa: \varepsilon_{r}=14.
  • Condutividade: \sigma=10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
  • Frequências:
    • F1: f_1=12{,}84\\ \mathrm{kHz}=12{,}84\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}.
    • F2: f_2=12{,}84\\ \mathrm{MHz}=12{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • F3: f_3=12{,}84\\ \mathrm{GHz}=12{,}84\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
O que se pede: para cada frequência, decidir se a amostra é um bom dielétrico, um bom condutor ou “quase condutor” (situação intermediária).

Passo 2

Critério físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Num material submetido a um campo elétrico variável, existem duas correntes concorrentes: a corrente de condução (ohmica) e a corrente de deslocamento (associada à permissividade).
  • A densidade de corrente de condução tem magnitude \,J_{\text{c}}=\sigma E\,.
  • A densidade de corrente de deslocamento (magnitude) associada à variação temporal é \,J_{\text{d}}=\omega\varepsilon E\,, onde:
    • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s),
    • \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r é a permissividade absoluta (F/m),
    • \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} é a permissividade do vácuo,
    • E é o módulo do campo elétrico (cancela na razão).
  • A razão entre as magnitudes é R=\frac{J_{\text{c}}}{J_{\text{d}}}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.Interpretação prática:
    • Se \,R\gg1 (ou seja \sigma\gg\omega\varepsilon) o material comporta-se como bom condutor (corrente de condução domina).
    • Se \,R\ll1 (ou seja \sigma\ll\omega\varepsilon) o material comporta-se como bom dielétrico (corrente de deslocamento domina).
    • Se \,R\sim1 as perdas óhmicas e a corrente de deslocamento são comparáveis → “quase condutor” (transição).

Passo 3

Calcular a permissividade absoluta:
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r= (8{,}854\times10^{-12})\cdot 14 = 1{,}23956\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
É conveniente calcular o fator multiplicador comum
K=2\pi\varepsilon=2\pi\cdot 1{,}23956\times10^{-10}=7{,}78598\times10^{-10}\\ \text{(em unidades de S·s)}.
Assim \omega\varepsilon=(2\pi\varepsilon)f=K f. Isso simplifica os cálculos para cada frequência.

Passo 4

Avaliação em f_1=12{,}84\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}:
Calcular \omega\varepsilon:
\omega\varepsilon = K f_1 = 7{,}78598\times10^{-10}\cdot 12{,}84\times10^{3}.
Fazendo a conta (multiplicação):
7{,}78598\times10^{-10}\cdot 12{,}84\times10^{3} \approx 1{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{S/m}.
Comparação com \sigma:
\sigma=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m} \quad\text{e}\quad \omega\varepsilon\approx1{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{S/m}.
Então
R=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx\frac{1{,}00\times10^{-2}}{1{,}00\times10^{-5}}=10^{3}=1000\gg1.
Conclusão para f_1: condução domina → a amostra é um bom condutor nesta frequência.

Passo 5

Avaliação em f_2=12{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
Calcular \omega\varepsilon:
\omega\varepsilon = K f_2 = 7{,}78598\times10^{-10}\cdot 12{,}84\times10^{6} \approx 1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
Comparação:
\sigma=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m},\qquad \omega\varepsilon\approx1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
Então
R=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx1.
Conclusão para f_2: perdas óhmicas e corrente de deslocamento são comparáveis → situação intermediária, ou seja “quase condutor” (regime de transição).

Passo 6

Avaliação em f_3=12{,}84\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}:
Calcular \omega\varepsilon:
\omega\varepsilon = K f_3 = 7{,}78598\times10^{-10}\cdot 12{,}84\times10^{9} \approx 1{,}00\times10^{1}=10\\ \mathrm{S/m}.
Comparação:
\sigma=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m},\qquad \omega\varepsilon\approx10\\ \mathrm{S/m}.
Então
R=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx\frac{1{,}00\times10^{-2}}{10}=1{,}00\times10^{-3}\ll1.
Conclusão para f_3: corrente de deslocamento domina → a amostra é um bom dielétrico nesta frequência.

Passo 7

Resumo físico curto (motivação rápida): em baixas frequências a corrente ohmica domina em solos úmidos/argilosos (portanto comportamento condutor); aumentando a frequência a resposta dielétrica (deslocamento) cresce com \omega e pode passar a dominar, levando ao comportamento dielétrico em altas frequências. Aqui os três regimes aparecem claramente nas três frequências pedidas.

Resposta

F1 ( 12{,}84\\ \mathrm{kHz}): bom condutor
F2 ( 12{,}84\\ \mathrm{MHz}): quase condutor (regime de transição)
F3 ( 12{,}84\\ \mathrm{GHz}): bom dielétrico

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