Um navio tenta se comunicar com um submarino submerso, através de uma onda plana na frequência de 10 K Hz . O navio está posicionado na mesma linha vertical em relação ao submarino e a intensidade de campo elétrico da onda transmitida imediatamente abaixo da linha da superfície da agua é 4 \mathrm{kV} / \mathrm{m}.
a) Sabendo que a água do mar apresenta permissividade relativa \varepsilon_{r}=81 e condutividade \sigma=4 \frac{s}{m^{\prime}}, calcule os coeficientes de atenuação e de fase, a profundidade pelicular, a velocidade de fase, o comprimento de onda e a impedância intrínseca da onda EM.
b) Determine os campos elétrico e magnético na forma fasorial.
c) Sabendo que, para decodificar corretamente o sinal recebido o receptor do submarino requer que uma intensidade de campo elétrico de no mínimo 0.01 \mu \mathrm{~V} / \mathrm{m} atinja a antena, determine a profundidade máxima da antena com relação a superfície da água na qual a comunicação ainda seja bem sucedida.
\mathrm{R}:: \gamma=0.397+j 0.397 \frac{1}{m} \quad \alpha=0.397 \frac{N p}{m} \quad \beta=0.397 \frac{r a d}{m} \quad \delta=2.516 m
\begin{aligned} & v_{p}=1.58 \times 10^{5} \frac{m}{s} \quad \lambda=15.81 \mathrm{~cm} \quad \eta=0.099+j 0.099 \Omega=0.14 e^{j 45^{\circ}} \\\ & E_{x}=4 e^{-0.397 z} e^{-j 0.397 z} \frac{\mathrm{KV}}{m} \quad H_{y}=28.47 e^{-0.397 z} e^{-j 0.397 z} e^{-j 0.785} \frac{\mathrm{KA}}{m} \\\ & z_{\max }=67.227 m \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que segue entre parênteses foi extraído do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Frequência: f=10{,}0\\ \text{kHz}.
    • Intensidade do campo elétrico imediatamente abaixo da superfície: E(0)=4\\ \text{kV/m}.
    • Permissividade relativa da água do mar: \varepsilon_r=81.
    • Condutividade elétrica: \sigma=4\\ \text{S/m}.
    • Assumir meio não magnético (água com permeabilidade \mu=\mu_0).
  • Constantes físicas que vamos usar:
    • \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
    • \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
  • O enunciado pede:
    (a) calcular coeficientes de atenuação e de fase ( \alpha e \beta), profundidade de penetração (profundidade de pele \delta), velocidade de fase v_p, comprimento de onda \lambda e impedância intrínseca \eta.
    (b) determinar os campos elétrico e magnético na forma fasorial (dependência em z, incluindo fatores de atenuação e fase).
    (c) determinar a profundidade máxima z_{\max} tal que o módulo do campo elétrico seja pelo menos 0{,}01\\ \mu\text{V/m} no receptor.

Passo 2

Calcular valores básicos e verificar regime (bom condutor ou dielétrico).
  • Transformar unidades e calcular \omega, \varepsilon e \mu: \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 10{,}0\times10^{3}=6{,}2831853\times10^{4}\\ \text{rad/s}.
\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0=81\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}=7{,}17074\times10^{-10}\\ \text{F/m}.
\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}=1{,}25663706\times10^{-6}\\ \text{H/m}.
  • Verificar se podemos usar a aproximação de bom condutor: \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} =\frac{4}{(6{,}2831853\times10^{4})\cdot(7{,}17074\times10^{-10})} \approx 8{,}88\times10^{4}\gg 1.Como \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon} é muito grande, a água do mar, nessa frequência, comporta-se como um bom condutor para as fórmulas aproximadas — isso simplifica expressões e é seguro usar as aproximações conhecidas para condutores. (Explicação: quando \sigma\gg\omega\varepsilon, as correntes óhmicas dominam sobre a polarização dielétrica.)

Passo 3

Apresentar a fórmula geral da constante de propagação e a aproximação para bom condutor.
  • Fórmula geral complexa da constante de propagação:
    \gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)}.
    Aqui \alpha é o coeficiente de atenuação (Np/m) e \beta é o coeficiente de fase (rad/m).
  • Aproximação no regime de bom condutor ( \sigma\gg\omega\varepsilon):
    \alpha\approx\beta\approx\sqrt{\frac{\pi f\mu\sigma}{\;}\;}=\sqrt{\pi f \mu \sigma}.
    (Derivação curta: ao dominar \sigma, a raiz complexa simplifica e dá \gamma\approx(1+j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu\sigma}{2}}, equivalente à expressão acima.)

Passo 4

Calcular numericamente \alpha, \beta e a constante de propagação \gamma.
  • Calcular \pi f\mu\sigma: \pi f \mu \sigma =\pi\cdot 10{,}0\times10^{3}\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}\cdot 4 \approx 0{,}15791367\\ .
  • Tomando raiz: \alpha\approx\beta\approx\sqrt{0{,}15791367}\approx 0{,}39738\\ \text{Np/m (ou 1/m)}.
  • Portanto a constante de propagação complexa é \gamma=\alpha+j\beta\approx 0{,}39738\left(1+j\right)\\ \text{m}^{-1}.

Passo 5

Calcular a profundidade de pele (skin depth) \delta e explicar seu significado.
  • Definição: \delta=1/\alpha. É a profundidade na qual a amplitude do campo decai para 1/e do valor na superfície. \delta=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{0{,}39738}\approx 2{,}5156\\ \text{m}.Interpretação: a cada \delta metros o campo diminui em fator e\approx 2{,}718.

Passo 6

Calcular velocidade de fase v_p e comprimento de onda \lambda. Explicar fórmulas.
  • Fórmula do número de fase e velocidade de fase:
    \beta\\ \text{(rad/m)}\quad\Rightarrow\quad v_p=\frac{\omega}{\beta}.
    Cálculo:
    v_p=\frac{6{,}2831853\times10^{4}}{0{,}39738}\approx 1{,}58238\times10^{5}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
    Observação: velocidade de fase é muito menor que c porque o meio é condutor forte.
  • Comprimento de onda:
    \lambda=\frac{v_p}{f}=\frac{1{,}58238\times10^{5}}{10{,}0\times10^{3}}\approx 15{,}8238\\ \text{m}.

Passo 7

Calcular a impedância intrínseca \eta do meio e explicar a expressão aproximada para condutores.
  • Fórmula exata:
    \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
    • Em bom condutor a aproximação simplificada é
    \eta\approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
    (Explicação: a raiz da razão complexa, no limite \sigma\gg\omega\varepsilon, desenvolve-se nessa forma, que mostra que \eta tem mesma magnitude para parte real e imaginária e defasagem de 45^\circ.)
  • Calcular numericamente:
    \sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} =\sqrt{\frac{6{,}2831853\times10^{4}\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}}{2\cdot 4}} \approx 0{,}099347\\ \Omega.
    Então
    \eta\approx(1+j)\,0{,}099347\\ \Omega \approx 0{,}099347 + j\,0{,}099347\\ \Omega.
    Magnitude e fase:
    |\eta|=\sqrt{0{,}099347^{2}+0{,}099347^{2}}=0{,}1406\\ \Omega,\qquad \arg(\eta)=45^\circ.

Passo 8

Determinar os campos elétrico e magnético na forma fasorial (resolvendo (b) do enunciado) e explicar passos.
  • Campo elétrico fasorial (assumindo referência de fase zero na superfície z=0):
    • O valor dado é E(0)=4\\ \text{kV/m}=4000\\ \text{V/m}.
    • Em um meio homogêneo com \gamma=\alpha+j\beta, a dependência em z é \exp(-\gamma z)=\exp(-\alpha z)\exp(-j\beta z).
    • Logo o fasor do campo elétrico (com componente na direção x) é \boxed{\,\mathbf{E}_x(z)=4000\,e^{-\alpha z}\,e^{-j\beta z}\\ \text{V/m}\,}ou, substituindo os valores numéricos, \mathbf{E}_x(z)=4000\,e^{-0{,}39738\,z}\,e^{-j\,0{,}39738\,z}\\ \text{V/m}.
  • Campo magnético fasorial:
    • Relação fasorial entre \mathbf{E} e \mathbf{H}: \mathbf{H}=\mathbf{E}/\eta.
    • Em magnitude: |\mathbf{H}(0)|=4000/|\eta|=4000/0{,}1406\approx 28457{,}7\\ \text{A/m}\approx 28{,}458\\ \text{kA/m}.
    • A defasagem é -\arg(\eta)=-45^\circ (porque \mathbf{E} foi tomada com fase zero).
    • Portanto, tomando eixo apropriado (campo magnético no sentido y), o fasor é \boxed{\,\mathbf{H}_y(z)=28457{,}7\,e^{-\alpha z}\,e^{-j(\beta z + \pi/4)}\\ \text{A/m}\,}ou escrevendo com números arredondados \mathbf{H}_y(z)\approx 2{,}8458\times10^{4}\,e^{-0{,}39738\,z}\,e^{-j\left(0{,}39738\,z+\tfrac{\pi}{4}\right)}\\ \text{A/m}.
    • Observação prática: pode escrever \mathbf{H}_y em \text{kA/m} se preferir: \mathbf{H}_y(z)\approx 28{,}458\\ e^{-0{,}39738\,z}\,e^{-j\left(0{,}39738\,z+\tfrac{\pi}{4}\right)}\\ \text{kA/m}.

Passo 9

Determinar a profundidade máxima z_{\max} tal que |E(z)|\ge E_{\min} com E_{\min}=0{,}01\\ \mu\text{V/m} (resolvendo (c)).
  • Converter limiar: E_{\min}=0{,}01\\ \mu\text{V/m}=0{,}01\times10^{-6}\\ \text{V/m}=1{,}0\times10^{-8}\\ \text{V/m}.
  • Equação para a amplitude (fase não importa para amplitude): 4000\,e^{-\alpha z_{\max}}=1{,}0\times10^{-8}.
e^{-\alpha z_{\max}}=\frac{1{,}0\times10^{-8}}{4000}=2{,}5\times10^{-12}.
Tomando logaritmo:
-\alpha z_{\max}=\ln(2{,}5\times10^{-12})\quad\Rightarrow\quad z_{\max}=-\frac{\ln(2{,}5\times10^{-12})}{\alpha}.
  • Calcular numericamente: \ln(2{,}5\times10^{-12})\approx -26{,}71473,
z_{\max}\approx\frac{26{,}71473}{0{,}39738}\approx 67{,}25\\ \text{m}.
Interpretação: até aproximadamente 67{,}3\\ \text{m} abaixo da superfície o sinal ainda excede o limiar pedido.

Resposta

\alpha=0{,}39738\\ \text{Np/m}
\beta=0{,}39738\\ \text{rad/m}
\delta=\dfrac{1}{\alpha}=2{,}5156\\ \text{m}
v_p=\dfrac{\omega}{\beta}=1{,}5824\times10^{5}\\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}
\lambda=\dfrac{v_p}{f}=15{,}8238\\ \text{m}
\eta\approx 0{,}099347 + j\,0{,}099347\\ \Omega\quad (|\eta|=0{,}1406\\ \Omega,\\ \arg\eta=45^\circ)
\mathbf{E}_x(z)=4000\,e^{-0{,}39738\,z}\,e^{-j\,0{,}39738\,z}\\ \text{V/m}
\mathbf{H}_y(z)\approx 2{,}8458\times10^{4}\,e^{-0{,}39738\,z}\,e^{-j\left(0{,}39738\,z+\tfrac{\pi}{4}\right)}\\ \text{A/m}
z_{\max}\approx 67{,}25\\ \text{m}

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