Um navio tenta se comunicar com um submarino submerso, através de uma onda plana na frequência de 10 K Hz . O navio está posicionado na mesma linha vertical em relação ao submarino e a intensidade de campo elétrico da onda transmitida imediatamente abaixo da linha da superfície da agua é
.
a) Sabendo que a água do mar apresenta permissividade relativa
e condutividade
, calcule os coeficientes de atenuação e de fase, a profundidade pelicular, a velocidade de fase, o comprimento de onda e a impedância intrínseca da onda EM.
b) Determine os campos elétrico e magnético na forma fasorial.
c) Sabendo que, para decodificar corretamente o sinal recebido o receptor do submarino requer que uma intensidade de campo elétrico de no mínimo
atinja a antena, determine a profundidade máxima da antena com relação a superfície da água na qual a comunicação ainda seja bem sucedida.
a) Sabendo que a água do mar apresenta permissividade relativa
b) Determine os campos elétrico e magnético na forma fasorial.
c) Sabendo que, para decodificar corretamente o sinal recebido o receptor do submarino requer que uma intensidade de campo elétrico de no mínimo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que segue entre parênteses foi extraído do enunciado).
- Dados fornecidos:
- Frequência:
. - Intensidade do campo elétrico imediatamente abaixo da superfície:
. - Permissividade relativa da água do mar:
. - Condutividade elétrica:
. - Assumir meio não magnético (água com permeabilidade
).
- Frequência:
- Constantes físicas que vamos usar:
-
. -
.
-
- O enunciado pede:
(a) calcular coeficientes de atenuação e de fase (e ), profundidade de penetração (profundidade de pele ), velocidade de fase , comprimento de onda e impedância intrínseca .
(b) determinar os campos elétrico e magnético na forma fasorial (dependência em, incluindo fatores de atenuação e fase).
(c) determinar a profundidade máximatal que o módulo do campo elétrico seja pelo menos no receptor.
Passo 2
Calcular valores básicos e verificar regime (bom condutor ou dielétrico).
- Transformar unidades e calcular
, e :
- Verificar se podemos usar a aproximação de bom condutor:
Como é muito grande, a água do mar, nessa frequência, comporta-se como um bom condutor para as fórmulas aproximadas — isso simplifica expressões e é seguro usar as aproximações conhecidas para condutores. (Explicação: quando , as correntes óhmicas dominam sobre a polarização dielétrica.)
Passo 3
Apresentar a fórmula geral da constante de propagação e a aproximação para bom condutor.
-
Fórmula geral complexa da constante de propagação:Aqui
é o coeficiente de atenuação (Np/m) e é o coeficiente de fase (rad/m). -
Aproximação no regime de bom condutor (
): (Derivação curta: ao dominar, a raiz complexa simplifica e dá , equivalente à expressão acima.)
Passo 4
Calcular numericamente
,
e a constante de propagação
.
- Calcular
: - Tomando raiz:
- Portanto a constante de propagação complexa é
Passo 5
Calcular a profundidade de pele (skin depth)
e explicar seu significado.
- Definição:
. É a profundidade na qual a amplitude do campo decai para do valor na superfície. Interpretação: a cada metros o campo diminui em fator .
Passo 6
Calcular velocidade de fase
e comprimento de onda
. Explicar fórmulas.
-
Fórmula do número de fase e velocidade de fase:Cálculo:Observação: velocidade de fase é muito menor que
porque o meio é condutor forte. -
Comprimento de onda:
Passo 7
Calcular a impedância intrínseca
do meio e explicar a expressão aproximada para condutores.
-
Fórmula exata:
- Em bom condutor a aproximação simplificada é
(Explicação: a raiz da razão complexa, no limite, desenvolve-se nessa forma, que mostra que tem mesma magnitude para parte real e imaginária e defasagem de .) -
Calcular numericamente:EntãoMagnitude e fase:
Passo 8
Determinar os campos elétrico e magnético na forma fasorial (resolvendo (b) do enunciado) e explicar passos.
-
Campo elétrico fasorial (assumindo referência de fase zero na superfície
): - O valor dado é
. - Em um meio homogêneo com
, a dependência em é . - Logo o fasor do campo elétrico (com componente na direção
) é ou, substituindo os valores numéricos,
- O valor dado é
-
Campo magnético fasorial:
- Relação fasorial entre
e : . - Em magnitude:
- A defasagem é
(porque foi tomada com fase zero). - Portanto, tomando eixo apropriado (campo magnético no sentido
), o fasor é ou escrevendo com números arredondados - Observação prática: pode escrever
em se preferir:
- Relação fasorial entre
Passo 9
Determinar a profundidade máxima
tal que
com
(resolvendo (c)).
- Converter limiar:
- Equação para a amplitude (fase não importa para amplitude):
Tomando logaritmo:
- Calcular numericamente:
Interpretação: até aproximadamente
abaixo da superfície o sinal ainda excede o limiar pedido.