Para cada um dos materiais abaixo relacionados, determine se o material é um bom dielétrico, bom condutor ou quase condutor na frequência de 100 KHz .
Cobre: \varepsilon_{r}=1, \sigma=58 \mathrm{M} \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}

Passo 1

O enunciado pede que, para o cobre com \varepsilon_{r}=1 e \sigma=58\\ \mathrm{M}\,\mathrm{S/m}, se determine se o material é um bom dielétrico, bom condutor ou quase condutor na frequência f=100\\ \mathrm{kHz}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Permitividade relativa: \varepsilon_{r}=1.
  • Condutividade: \sigma=58\\ \mathrm{M}\,\mathrm{S/m}=58\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
  • Frequência de operação: f=100\\ \mathrm{kHz}=10^{5}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Conceito e critério prático (aula rápida e direta).
Para ondas eletromagnéticas em meios ôhmicos usa-se a permitividade complexa efetiva
\tilde{\varepsilon}=\varepsilon' - j\,\varepsilon'',
onde \varepsilon'=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} é a parte real (armazena energia elétrica) e
\varepsilon''=\frac{\sigma}{\omega} \frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\varepsilon_{0} \quad\text{(mais comum escrever)}\quad \varepsilon''=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_{0}},
é a parte imaginária adimensional relativa que representa perdas ôhmicas (atenção: aqui \varepsilon'' está adimensional quando dividimos por \varepsilon_{0}; o critério que vamos usar é comparar \varepsilon'' com \varepsilon_{r}). As variáveis:
  • \sigma é a condutividade ( \mathrm{S/m});
  • \omega=2\pi f é a pulsação ( \mathrm{rad/s});
  • \varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} é a permitividade do vácuo;
  • \varepsilon_{r} é a permitividade relativa (adimensional).
Critério de classificação (regra prática):
  • Se \varepsilon''\ll\varepsilon_{r} então o meio é um bom dielétrico (perdas desprezíveis).
  • Se \varepsilon''\sim\varepsilon_{r} então é quase condutor (moderadas perdas).
  • Se \varepsilon''\gg\varepsilon_{r} então é um bom condutor (perdas dominantes; campo confinado à superfície).
Vou calcular \varepsilon''=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon_{0}} e comparar com \varepsilon_{r}=1.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6,283185\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o produto \omega\varepsilon_{0}:
\omega\varepsilon_{0}=(6,283185\times10^{5})(8,854\times10^{-12}) \approx 5,5663\times10^{-6}.
(Unidade implícita: \mathrm{S/m} no contexto do quociente com \sigma.)

Passo 5

Calcular \varepsilon'':
\varepsilon''=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_{0}} =\frac{58\times10^{6}}{5,5663\times10^{-6}} \approx 1,0417\times10^{13}.
Comparando com \varepsilon_{r}=1 vemos que
\varepsilon''\gg\varepsilon_{r}.
Portanto, pelo critério, o cobre na frequência 100\\ \mathrm{kHz} comporta-se como um bom condutor.

Passo 6

Intuição física e confirmação com profundidade de penetração (skin depth).
Para um condutor não magnético ( \mu\approx\mu_{0}) a profundidade de penetração da onda é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Aqui usamos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1,256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 7

Calcular \delta numericamente:
Primeiro
\omega\mu_{0}\sigma=(6,283185\times10^{5})(1,256637\times10^{-6})(58\times10^{6}) \approx 4,5797\times10^{7}.
Então
\delta=\sqrt{\frac{2}{4,5797\times10^{7}}}\approx 6,612\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\approx 0,6612\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a onda penetra menos de 1\\ \mathrm{mm} no cobre a 100\\ \mathrm{kHz}. Isso reforça que as correntes e campos ficam confinados à superfície — comportamento típico de um bom condutor.

Passo 8

Resumo didático e incentivo (rápido): encontramos \varepsilon'' enorme ( \sim10^{13}) comparado a \varepsilon_{r}=1 e uma skin depth muito pequena (~ 0,66\\ \mathrm{mm}). Tudo isso é sinal inequívoco de que o cobre, à frequência dada, age como um bom condutor. Relaxa: para metais comuns em frequências de rádio e abaixo, a regra é quase sempre a mesma — condutor.

Resposta

Bom condutor

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