Uma amostra do tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte distribuição:
N^{o} de horas (vida útil) N^{o} de peças
0 \mid---100 6
100 \mid---200 42
200 \mid---300 86
300 \mid---400 127
400 \mid---500 64
500 \mid---600 8
Se o fabricante deseja estabelecer uma garantia mínima para o número de horas de vida útil de uma peça, trocando a peça que não apresentar este número mínimo de horas, qual é a garantia, se ele está disposto a trocar 8 \% das peças?

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma garantia mínima, em número de horas, tal que o fabricante esteja disposto a trocar 8\% das peças (isto é, trocará as peças cuja vida útil for menor que essa garantia).
Dados fornecidos (distribuição por classes de tempo de vida e número de peças em cada classe):
\begin{array}{c|c} \text{Número de horas (classe)} & \text{Número de peças (frequência)}\\hline 0\mid---100 & 6\\\\ 100\mid---200 & 42\\\\ 200\mid---300 & 86\\\\ 300\mid---400 & 127\\\\ 400\mid---500 & 64\\\\ 500\mid---600 & 8 \end{array}úúçê
Total de peças (somando as frequências):
n = 6 + 42 + 86 + 127 + 64 + 8 = 333.
O que precisamos encontrar: o valor de horas x tal que a proporção de peças com vida útil menor que x seja 8\% (ou seja, o 8º percentil da amostra agrupada).

Passo 2

Interpretação matemática do pedido e posição do percentil na amostra.
Para encontrar o ponto que corresponde a 8\% da amostra usamos a posição acumulada
k = p\cdot n,
onde p é a proporção ( p=0,08) e n é o tamanho da amostra. Calculamos:
k = 0,08 \times 333 = 26,64.
Isto significa que o 8\% corresponde aproximadamente à 26{,}64-ésima observação quando ordenamos as vidas úteis; em dados agrupados, identificamos em qual classe essa posição cai e interpolamos dentro da classe.

Passo 3

Cálculo das frequências acumuladas para localizar a classe que contém o percentil 8\%.
Frequências cumulativas (somando as classes na ordem):
\begin{aligned} F_1 &= 6 \quad\text{(até }0\mid---100\text{)}\\\ F_2 &= 6 + 42 = 48 \quad\text{(até }100\mid---200\text{)}\\\ F_3 &= 48 + 86 = 134 \quad\text{(até }200\mid---300\text{)}\\\ F_4 &= 134 + 127 = 261 \quad\text{(até }300\mid---400\text{)}\\\ F_5 &= 261 + 64 = 325 \quad\text{(até }400\mid---500\text{)}\\\ F_6 &= 325 + 8 = 333 \quad\text{(até }500\mid---600\text{)} \end{aligned}éééééé
Comparemos k=26{,}64 com essas acumuladas: F_1=6 < 26{,}64 \le F_2=48. Logo, a posição 26{,}64 cai na segunda classe, que é \,100\mid---200 horas.

Passo 4

Escolha do método para obter o valor dentro da classe.
Como os dados estão agrupados em classes, usamos interpolação linear dentro da classe que contém o percentil, assumindo distribuição uniforme dos valores dentro da classe. A fórmula padrão para o quantil em dados agrupados é:
x_p = L + h\cdot\frac{k - F_{prev}}{f},
onde:
  • x_p é o valor do percentil procurado;
  • L é o limite inferior da classe que contém o percentil (o início da classe);
  • h é a largura da classe (tamanho do intervalo);
  • k é a posição p\cdot n;
  • F_{prev} é a frequência acumulada até a classe anterior (não incluindo a classe que contém o percentil);
  • f é a frequência da classe que contém o percentil.
Explicando intuitivamente: \dfrac{k-F_{prev}}{f} é a fração da classe até onde precisamos ir (entre 0 e 1); multiplicando por h obtemos quantas horas dentro da classe devemos avançar a partir do limite inferior L.

Passo 5

Identificação dos parâmetros na fórmula para a nossa situação (classe \,100\mid---200):
\begin{aligned} L &= 100 \quad\text{(limite inferior da classe)}\\\ h &= 100 \quad\text{(largura da classe: }200-100=100\text{)}\\\ k &= 26{,}64 \quad\text{(computado no Passo 2)}\\\ F_{prev} &= F_1 = 6 \quad\text{(acumulado antes da classe }100\mid---200\text{)}\\\ f &= 42 \quad\text{(frequência na classe }100\mid---200\text{)} \end{aligned}ê

Passo 6

Aplicação numérica da fórmula e contas detalhadas passo a passo.
Primeiro, a diferença k - F_{prev}:
k - F_{prev} = 26{,}64 - 6 = 20{,}64.
A razão dentro da classe:
\frac{k - F_{prev}}{f} = \frac{20{,}64}{42}.
Vamos dividir passo a passo. Podemos fazer uma divisão longa ou simplificar aproximadamente:
\frac{20{,}64}{42} \approx 0{,}492857\ldots
Multiplicando pela largura da classe h=100:
h\cdot\frac{k - F_{prev}}{f} \approx 100 \times 0{,}492857\ldots = 49{,}2857\ldots
Finalmente somamos ao limite inferior L=100:
x_p = 100 + 49{,}2857\ldots \approx 149{,}2857\ldots
Arredondando para duas casas decimais (ou conforme desejado), obtemos aproximadamente 149{,}29 horas.

Resposta

149{,}29 horas (aproximadamente)

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