Uma amostra do tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte distribuição:
de horas (vida útil)
de peças
6
42
86
127
64
8
Se o fabricante deseja estabelecer uma garantia mínima para o número de horas de vida útil de uma peça, trocando a peça que não apresentar este número mínimo de horas, qual é a garantia, se ele está disposto a trocar
das peças?
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Passo 1
O enunciado pede: determinar uma garantia mínima, em número de horas, tal que o fabricante esteja disposto a trocar
das peças (isto é, trocará as peças cuja vida útil for menor que essa garantia).
Dados fornecidos (distribuição por classes de tempo de vida e número de peças em cada classe):
Dados fornecidos (distribuição por classes de tempo de vida e número de peças em cada classe):
Total de peças (somando as frequências):
O que precisamos encontrar: o valor de horas
tal que a proporção de peças com vida útil menor que
seja
(ou seja, o
º percentil da amostra agrupada).
Passo 2
Interpretação matemática do pedido e posição do percentil na amostra.
Para encontrar o ponto que corresponde a da amostra usamos a posição acumulada
Para encontrar o ponto que corresponde a
onde
é a proporção (
) e
é o tamanho da amostra. Calculamos:
Isto significa que o
corresponde aproximadamente à
-ésima observação quando ordenamos as vidas úteis; em dados agrupados, identificamos em qual classe essa posição cai e interpolamos dentro da classe.
Passo 3
Cálculo das frequências acumuladas para localizar a classe que contém o percentil
.
Frequências cumulativas (somando as classes na ordem):
Comparemos
com essas acumuladas:
. Logo, a posição
cai na segunda classe, que é
horas.
Passo 4
Escolha do método para obter o valor dentro da classe.
Como os dados estão agrupados em classes, usamos interpolação linear dentro da classe que contém o percentil, assumindo distribuição uniforme dos valores dentro da classe. A fórmula padrão para o quantil em dados agrupados é:
Como os dados estão agrupados em classes, usamos interpolação linear dentro da classe que contém o percentil, assumindo distribuição uniforme dos valores dentro da classe. A fórmula padrão para o quantil em dados agrupados é:
onde:
-
é o valor do percentil procurado; -
é o limite inferior da classe que contém o percentil (o início da classe); -
é a largura da classe (tamanho do intervalo); -
é a posição ; -
é a frequência acumulada até a classe anterior (não incluindo a classe que contém o percentil); -
é a frequência da classe que contém o percentil.
Explicando intuitivamente:
é a fração da classe até onde precisamos ir (entre
e
); multiplicando por
obtemos quantas horas dentro da classe devemos avançar a partir do limite inferior
.
Passo 5
Identificação dos parâmetros na fórmula para a nossa situação (classe
):
Passo 6
Aplicação numérica da fórmula e contas detalhadas passo a passo.
Primeiro, a diferença
:
A razão dentro da classe:
Vamos dividir passo a passo. Podemos fazer uma divisão longa ou simplificar aproximadamente:
Multiplicando pela largura da classe
:
Finalmente somamos ao limite inferior
:
Arredondando para duas casas decimais (ou conforme desejado), obtemos aproximadamente
horas.