Uma empresa estabelece o salário de seus vendedores com base na produtividade. Desta forma, 10% é fixo e 90% são comissões sobre venda. Uma amostra de salários mensais nesta empresa revelou o quadro abaixo. Se a empresa decidir demitir os 5 \% dos vendedores que pior desempenho tiveram durante este mês com base nesta amostra, determine qual será o maior salário entre os funcionários demitidos.
Salários (US$) n.o de vendedores
70 \mid--120 8
120 \mid---170 28
170 \mid---220 54
220 \mid---270 32
270 \mid---320 12
320 \mid---370 6

Passo 1

O enunciado pede: “Se a empresa decidir demitir os 5\% dos vendedores que pior desempenho tiveram durante este mês com base nesta amostra, determine qual será o maior salário entre os funcionários demitidos.”\n
Informações dadas (tabela de classes e frequências):
\begin{array}{l|r} \text{Salários (US\$)} & \text{n.o de vendedores} \\\ \hline 70\mid--120 & 8\\\\ 120\mid---170 & 28\\\\ 170\mid---220 & 54\\\\ 220\mid---270 & 32\\\\ 270\mid---320 & 12\\\\ 320\mid---370 & 6 \end{array}

Passo 2

Calcular o total de observações N e quantos correspondem a 5\%. Some as frequências de cada classe:
N = 8 + 28 + 54 + 32 + 12 + 6 = 140.
O número de vendedores a demitir é 5\% de N:
0{,}05\cdot N = 0{,}05\cdot 140 = 7.
Ou seja, serão demitidos os 7 vendedores de pior desempenho (os 7 menores salários da amostra).

Passo 3

Identificar em qual classe está o 7-ésimo menor salário. Use as frequências acumuladas a partir da menor classe:
\begin{array}{l|r} \text{Classe} & \text{Frequência acumulada}\\\\ 70\mid--120 & 8\\\\ 120\mid---170 & 8+28=36\\\ \text{...} & \text{...} \end{array}ê
Como a primeira classe já contém 8 observações e queremos os 7 menores, o 7-ésimo está dentro da primeira classe [70,120). Portanto o maior salário entre os demitidos pertence a essa primeira classe.

Passo 4

Precisamos estimar, dentro da primeira classe, qual valor corresponde ao k-ésimo item com k=7. Para dados agrupados usa-se a interpolação linear dentro da classe para estimar o percentil/posição. A fórmula (explicada passo a passo) é:
Seja
L=\text{limite inferior da classe},
h=\text{amplitude da classe},
c_f=\text{frequência acumulada antes da classe},ê
f=\text{frequência da classe},ê
k=\text{posição desejada (aqui }k=7\text{)}.çã
A estimativa da posição dentro da classe é
\text{valor} = L + \frac{k - c_f}{f}\cdot h.
Explicando cada termo:
  • L é o menor valor da classe (aqui 70).
  • h é a largura da classe, isto é 120-70=50.
  • c_f é quantas observações vêm antes dessa classe; na primeira classe c_f=0.
  • f é a frequência da classe (aqui f=8).
  • \dfrac{k-c_f}{f} é a fração da classe onde se encontra a k-ésima observação, assumindo distribuição uniforme dentro da classe (hipótese padrão para interpolação).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
L=70,\quad h=50,\quad c_f=0,\quad f=8,\quad k=7.
\text{valor} = 70 + \frac{7-0}{8}\cdot 50.
Calcule passo a passo:
\frac{7}{8}=0{,}875,
0{,}875\cdot 50 = 43{,}75,
70 + 43{,}75 = 113{,}75.
Interpretação: estimamos que o maior salário entre os 7 demitidos é aproximadamente \$113{,}75. Isso significa que, usando a interpolação dentro da primeira classe, o sétimo menor salário fica em torno de \$113{,}75.

Resposta

\$113{,}75

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