A distribuição de frequência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais emitidas durante um dia numa loja de departamentos.
Consumo por nota
(US$)
n.o de notas
0 |--- 50 10
50 |--- 100 28
100 |--- 150 12
150 |--- 200 2
200 |--- 250 1
250 |--- 300 1
Tomando como amostra a tabela do problema anterior, o gerente desta loja de departamentos decidiu premiar com um brinde, 10% dos fregueses que mais consumirem, nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo da nota fiscal os clientes seriam premiados?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte distribuição de frequência (peguei os dados diretamente da tabela do enunciado):
Classe \,0\mid\!-\!-\!50 tem 10 notas;
Classe \,50\mid\!-\!-\!100 tem 28 notas;
Classe \,100\mid\!-\!-\!150 tem 12 notas;
Classe \,150\mid\!-\!-\!200 tem 2 notas;
Classe \,200\mid\!-\!-\!250 tem 1 nota;
Classe \,250\mid\!-\!-\!300 tem 1 nota.
O total de observações é N = 54.
A pergunta do problema: sabendo que o gerente quer premiar os \,10\% dos fregueses que mais consumirem, a partir de qual valor de consumo da nota fiscal os clientes seriam premiados? (Ou seja: qual é o valor de corte que separa os 10\% maiores consumos.)

Passo 2

O que precisamos fazer (explicando devagar): premiar os 10\% maiores consumos equivale a encontrar o ponto tal que 10\% das notas estão acima dele e 90\% estão abaixo dele. Esse ponto é o percentil 90 (também chamado de P_{90}). Primeiro calculamos a posição (ordem) teórica dentro da amostra:
P = 0{,}9 \cdot N.
Substituindo N=\;54:
P = 0{,}9\cdot 54 = 48{,}6.
Isso significa: o valor do percentil 90 corresponde aproximadamente ao 48{,}6-ésimo valor quando os consumos estão ordenados — em dados agrupados vamos localizar em qual classe esse posto se encontra e interpolar.

Passo 3

Agora calculamos as frequências acumuladas para localizar em qual classe fica a posição 48{,}6. Peguei as frequências das classes da tabela e acumulei:
\begin{aligned} \text{Fim da 1ª classe: } &10\\\ \text{Fim da 2ª classe: } &10 + 28 = 38\\\ \text{Fim da 3ª classe: } &38 + 12 = 50\\\ \text{Fim da 4ª classe: } &50 + 2 = 52\\\ \text{Fim da 5ª classe: } &52 + 1 = 53\\\ \text{Fim da 6ª classe: } &53 + 1 = 54. \end{aligned}ªªªªªª
Vemos que a posição 48{,}6 está dentro da terceira classe \,100\mid\!-\!-\!150, porque o fim da segunda classe é 38 < 48{,}6 e o fim da terceira é 50 \ge 48{,}6.

Passo 4

Agora vamos usar a fórmula de interpolação linear dentro da classe (método padrão para percentis em dados agrupados). Escrevo a fórmula e explico cada termo:
\text{Percentil }90 = L + \frac{P - F_{ant}}{f}\cdot h.
Onde:
  • L é o limite inferior da classe que contém o percentil (aqui L é o início da classe \,100\mid\!-\!-\!150, então L = 100);
  • h é a amplitude (largura) da classe (aqui todas têm largura 50, então h = 50);
  • F_{ant} é a frequência acumulada antes dessa classe (ou seja, soma das frequências das classes anteriores; aqui F_{ant} = 38);
  • f é a frequência da classe que contém o percentil (aqui f = 12);
  • P é a posição calculada no Passo 2 (aqui P = 48{,}6).
    A ideia dessa fórmula: assumimos distribuição linear (uniforme) dentro da classe e interpolamos a fração necessária da classe.

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula passo a passo:
Primeiro o numerador da fração:
P - F_{ant} = 48{,}6 - 38 = 10{,}6.
Depois a razão dentro da classe:
\frac{P - F_{ant}}{f} = \frac{10{,}6}{12}.
Calculo essa divisão:
\frac{10{,}6}{12} = 0{,}883333\ldots
Agora multiplicamos pela largura da classe:
0{,}883333\ldots \cdot 50 = 44{,}166666\ldots
Finalmente somamos ao limite inferior L:
100 + 44{,}166666\ldots = 144{,}166666\ldots

Passo 6

Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor fica:
144{,}17.
Interpretação prática: o percentil 90 estimado a partir dessa amostra é aproximadamente \$\,144{,}17. Isso significa que, com base na amostra, os 10\% que mais consumiram correspondem a notas com valor igual ou superior a esse ponto (na prática: clientes com nota a partir de \$\,144{,}17 estarão entre os 10\% maiores consumidores, aproximadamente).

Passo 7

Observações finais e dica para a prova (para você não esquecer):
  • A lógica é sempre a mesma para qualquer percentil em dados agrupados: encontrar P, localizar a classe onde a posição cai, e interpolar com L + \dfrac{P-F_{ant}}{f}\,h.
  • Se as classes tivessem larguras diferentes, use a largura h específica da classe onde está o percentil.
  • Na prova, escreva claramente os valores de L, h, F_{ant}, f antes de substituir — isso evita confusão e garante pontos.

Resposta

US$ 144{,}17

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