A distribuição de frequência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais emitidas durante um dia numa loja de departamentos.
Consumo por nota
(US$)
n.o de notas
0 |--- 50
10
50 |--- 100
28
100 |--- 150
12
150 |--- 200
2
200 |--- 250
1
250 |--- 300
1
Tomando como amostra a tabela do problema anterior, o gerente desta loja de departamentos decidiu premiar com um brinde, 10% dos fregueses que mais consumirem, nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo da nota fiscal os clientes seriam premiados?
|
n.o de notas | ||
| 0 |--- 50 | 10 | ||
| 50 |--- 100 | 28 | ||
| 100 |--- 150 | 12 | ||
| 150 |--- 200 | 2 | ||
| 200 |--- 250 | 1 | ||
| 250 |--- 300 | 1 |
Passo 1
O enunciado dá a seguinte distribuição de frequência (peguei os dados diretamente da tabela do enunciado):
Classe tem
notas;
Classe tem
notas;
Classe tem
notas;
Classe tem
notas;
Classe tem
nota;
Classe tem
nota.
O total de observações é .
A pergunta do problema: sabendo que o gerente quer premiar os dos fregueses que mais consumirem, a partir de qual valor de consumo da nota fiscal os clientes seriam premiados? (Ou seja: qual é o valor de corte que separa os
maiores consumos.)
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
Classe
O total de observações é
A pergunta do problema: sabendo que o gerente quer premiar os
Passo 2
O que precisamos fazer (explicando devagar): premiar os
maiores consumos equivale a encontrar o ponto tal que
das notas estão acima dele e
estão abaixo dele. Esse ponto é o percentil
(também chamado de
). Primeiro calculamos a posição (ordem) teórica dentro da amostra:
Substituindo
:
Isso significa: o valor do percentil
corresponde aproximadamente ao
-ésimo valor quando os consumos estão ordenados — em dados agrupados vamos localizar em qual classe esse posto se encontra e interpolar.
Passo 3
Agora calculamos as frequências acumuladas para localizar em qual classe fica a posição
. Peguei as frequências das classes da tabela e acumulei:
Vemos que a posição
está dentro da terceira classe
, porque o fim da segunda classe é
e o fim da terceira é
.
Passo 4
Agora vamos usar a fórmula de interpolação linear dentro da classe (método padrão para percentis em dados agrupados). Escrevo a fórmula e explico cada termo:
Onde:
-
é o limite inferior da classe que contém o percentil (aqui é o início da classe , então ); -
é a amplitude (largura) da classe (aqui todas têm largura , então ); -
é a frequência acumulada antes dessa classe (ou seja, soma das frequências das classes anteriores; aqui ); -
é a frequência da classe que contém o percentil (aqui ); -
é a posição calculada no Passo 2 (aqui ).
A ideia dessa fórmula: assumimos distribuição linear (uniforme) dentro da classe e interpolamos a fração necessária da classe.
Passo 5
Substituímos os valores na fórmula passo a passo:
Primeiro o numerador da fração:
Primeiro o numerador da fração:
Depois a razão dentro da classe:
Calculo essa divisão:
Agora multiplicamos pela largura da classe:
Finalmente somamos ao limite inferior
:
Passo 6
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor fica:
Interpretação prática: o percentil
estimado a partir dessa amostra é aproximadamente
. Isso significa que, com base na amostra, os
que mais consumiram correspondem a notas com valor igual ou superior a esse ponto (na prática: clientes com nota a partir de
estarão entre os
maiores consumidores, aproximadamente).
Passo 7
Observações finais e dica para a prova (para você não esquecer):
- A lógica é sempre a mesma para qualquer percentil em dados agrupados: encontrar
, localizar a classe onde a posição cai, e interpolar com . - Se as classes tivessem larguras diferentes, use a largura
específica da classe onde está o percentil. - Na prova, escreva claramente os valores de
antes de substituir — isso evita confusão e garante pontos.
Resposta
US$