Amostras alcatórias Foram selecionadas de três populações. Os dados obtidos são os seguintes:
  • Amostra 1: 93, 98, 107, 102, 100, 97
  • Amostra 2: 77, 87, 84, 95, 85, 82
  • Amostra 3: 88, 75, 87, 84, 74, 102
    Com um nível de significância de 5 %, podemos rejeitar a Hipótese nula de que as médias das três populações são iguais? (assuma normalidade e que as variâncias das três populações são normais) [2.5 pontos]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre comparar as médias de três populações diferentes usando amostras aleatórias. O conteúdo que vamos usar aqui é a Análise de Variância (ANOVA), que ajuda a determinar se há diferenças significativas entre as médias de mais de duas populações. Para resolver isso, vamos precisar calcular médias, somas de quadrados e usar a distribuição F.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados das três amostras:
  • Amostra 1: 93, 98, 107, 102, 100, 97
  • Amostra 2: 77, 87, 84, 95, 85, 82
  • Amostra 3: 88, 75, 87, 84, 74, 102
Vamos calcular a média de cada amostra:
Média1 = 93 + 98 + 107 + 102 + 100 + 976 = 5976 = 99,5 é
Média2 = 77 + 87 + 84 + 95 + 85 + 826 = 5106 = 85 é
Média3 = 88 + 75 + 87 + 84 + 74 + 1026 = 5106 = 85 é

Passo 3

Agora, vamos calcular a média geral de todas as observações juntas. Primeiro, somamos todos os valores:
597 (Amostra 1) + 510 (Amostra 2) + 510 (Amostra 3) = 1617
Como temos 18 observações no total (6 de cada amostra):
Média Geral = 161718 = 89,83 é

Passo 4

Vamos calcular a Soma de Quadrados Entre os Grupos (SSB), que mostra a variação entre as médias das amostras e a média geral:
SSB = n (Média1 - Média Geral)^2 + n (Média2 - Média Geral)^2 + n (Média3 - Média Geral)^2 éééééé
Onde $ n = 6 $ (número de observações por grupo).
n = 6
SSB = 6 (99,5 - 89,83)^2 + 6 (85 - 89,83)^2 + 6 (85 - 89,83)^2
SSB = 6 (9,67)^2 + 6 (-4,83)^2 + 6 (-4,83)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a Soma de Quadrados Dentro dos Grupos (SSW), que mostra a variação dentro de cada amostra:
Para cada amostra, subtraímos a média da amostra de cada valor individual, elevamos ao quadrado e somamos.
SSW = sum (Valor - Média1)^2 + sum (Valor - Média2)^2 + sum (Valor - Média3)^2 ééé
Calculando para cada amostra:
  • Amostra 1:
(93-99,5)^2 + (98-99,5)^2 + (107-99,5)^2 + (102-99,5)^2 + (100-99,5)^2 + (97-99,5)^2 = 42,25 + 2,25 + 56,25 + 6,25 + 0,25 + 6,25 = 113,5
  • Amostra 2:
(77-85)^2 + (87-85)^2 + (84-85)^2 + (95-85)^2 + (85-85)^2 + (82-85)^2 = 64 + 4 + 1 + 100 + 0 + 9 = 178
  • Amostra 3:
(88-85)^2 + (75-85)^2 + (87-85)^2 + (84-85)^2 + (74-85)^2 + (102-85)^2 = 9 + 100 + 4 + 1 + 121 + 289 = 524
SSW = 113,5 + 178 + 524 = 815,5

Passo 6

Agora, vamos determinar os graus de liberdade (df):
  • Entre os grupos (dfb): número de grupos - 1 = 3 - 1 = 2
  • Dentro dos grupos (dfw): número total de observações - número de grupos = 18 - 3 = 15

Passo 7

Vamos calcular as Médias dos Quadrados:
MSB = SSBdfb = 560,882 = 280,44
MSW = SSWdfw = 815,515 approx 54,37

Passo 8

Agora, calculamos o estatístico F:
F = MSBMSW = 280,4454,37 approx 5,16
Vamos comparar esse valor com o valor crítico da tabela F para dfb = 2 e dfw = 15 no nível de significância de 5%. O valor crítico aproximado é 3,68.

Passo 9

Como o nosso F calculado (5,16) é maior que o valor crítico (3,68), rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há diferenças significativas entre as médias das três populações.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, podemos rejeitar a hipótese nula de que as médias das três populações são iguais.

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