Amostras alcatórias Foram selecionadas de três populações. Os dados obtidos são os seguintes:
- Amostra 1: 93, 98, 107, 102, 100, 97
- Amostra 2: 77, 87, 84, 95, 85, 82
- Amostra 3: 88, 75, 87, 84, 74, 102
Com um nível de significância de
, podemos rejeitar a Hipótese nula de que as médias das três populações são iguais? (assuma normalidade e que as variâncias das três populações são normais) [2.5 pontos]
Com um nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre comparar as médias de três populações diferentes usando amostras aleatórias. O conteúdo que vamos usar aqui é a Análise de Variância (ANOVA), que ajuda a determinar se há diferenças significativas entre as médias de mais de duas populações. Para resolver isso, vamos precisar calcular médias, somas de quadrados e usar a distribuição F.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados das três amostras:
- Amostra 1: 93, 98, 107, 102, 100, 97
- Amostra 2: 77, 87, 84, 95, 85, 82
- Amostra 3: 88, 75, 87, 84, 74, 102
Vamos calcular a média de cada amostra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média geral de todas as observações juntas. Primeiro, somamos todos os valores:
Como temos 18 observações no total (6 de cada amostra):
Passo 4
Vamos calcular a Soma de Quadrados Entre os Grupos (SSB), que mostra a variação entre as médias das amostras e a média geral:
Onde $ n = 6 $ (número de observações por grupo).
Passo 5
Agora, vamos calcular a Soma de Quadrados Dentro dos Grupos (SSW), que mostra a variação dentro de cada amostra:
Para cada amostra, subtraímos a média da amostra de cada valor individual, elevamos ao quadrado e somamos.
Calculando para cada amostra:
- Amostra 1:
- Amostra 2:
- Amostra 3:
Passo 6
Agora, vamos determinar os graus de liberdade (df):
- Entre os grupos (dfb): número de grupos - 1 = 3 - 1 = 2
- Dentro dos grupos (dfw): número total de observações - número de grupos = 18 - 3 = 15
Passo 7
Vamos calcular as Médias dos Quadrados:
Passo 8
Agora, calculamos o estatístico F:
Vamos comparar esse valor com o valor crítico da tabela F para dfb = 2 e dfw = 15 no nível de significância de 5%. O valor crítico aproximado é 3,68.
Passo 9
Como o nosso F calculado (5,16) é maior que o valor crítico (3,68), rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há diferenças significativas entre as médias das três populações.
Resposta
Com um nível de significância de 5%, podemos rejeitar a hipótese nula de que as médias das três populações são iguais.