O DCE está interessado em saber existe diferença entre o desempenho das duas turmas de ME414. Para isto, duas amostras (uma de cada turma) foram selecionadas de forma aleatória obtendo os seguintes resultados
  • Turma A: n=15, barx=7.3 e sigma=0.7
  • Turma B: n=17, barx=7.8 e sigma=1.3
    Com base na evidência fornecida, podemos dizer que ambas as turmas tem o mesmo desempenho? (utilize alpha=0.10 ). [2.5 pontos]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer saber se há diferença no desempenho entre duas turmas de ME414. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente o teste de hipótese para comparar duas médias. Para resolver, vamos precisar dos tamanhos das amostras, das médias e dos desvios padrão de cada turma, além do nível de significância α=0.10.

Passo 2

Primeiro, vamos formular nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que as médias das duas turmas são iguais, ou seja, não há diferença no desempenho. A hipótese alternativa (H₁) é que as médias são diferentes.
H0: muA = muB
H1: muA neq muB

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as duas médias. A fórmula é:
SE = raizsigmaA^2nA + sigmaB^2nB
Substituindo os valores:
SE = raiz0.7^215 + 1.3^217
SE = raiz0.4915 + 1.6917
SE = raiz0.0327 + 0.0994
SE = raiz0.1321
SE approx 0.363

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor t da estatística de teste usando a diferença entre as médias e o erro padrão:
t = barxA - barxBSE
Substituindo os valores:
t = 7.3 - 7.80.363
t = -0.50.363
t approx -1.38

Passo 5

Agora, vamos encontrar os graus de liberdade para o teste. Como as variâncias são diferentes, usamos a fórmula de Satterthwaite:
df = ( sigmaA^2nA + sigmaB^2nB )^2( sigmaA^2nA )^2nA - 1 + ( sigmaB^2nB )^2nB - 1
Calculando:
df = (0.0327 + 0.0994)^20.0327^214 + 0.0994^216
df = 0.1321^20.0010714 + 0.0098816
df = 0.017430.000076 + 0.000618
df = 0.017430.000694
df approx 25.13
Arredondamos para 25 graus de liberdade.

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico t para α=0.10 em um teste bicaudal. Consultando a tabela t de Student para df=25 e α/2=0.05 em cada cauda, encontramos aproximadamente t crítico = ±1.708.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico. Nosso t calculado foi -1.38, que está entre -1.708 e 1.708.

Resposta

Como o valor de t (-1.38) não ultrapassa os valores críticos (-1.708 e 1.708), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com confiança de 90%, não há evidência suficiente para afirmar que há diferença no desempenho entre as duas turmas.

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