Uma pesquisa realizada com 400 pessoas da cidade de Campinas apontou que 175 delas utilizam alcool em gel regularmente. O prefeito da cidade, em uma entrevista, afirma que, como máximo
dos Campineiros utilizam alcool cm gel regularmente. Estabeleça apropriadamente as hipóteses e faça o teste correspondente (utilize
). [1.5 pontos]
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 400 pessoas em Campinas, das quais 175 usam álcool em gel regularmente. O prefeito afirma que, no máximo, 30% dos campineiros usam álcool em gel regularmente. Nosso objetivo aqui é verificar se essa afirmação do prefeito está correta usando um teste estatístico. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de hipóteses para proporções e usar um nível de significância de
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. Em um teste de hipóteses, temos duas hipóteses: a nula (
) e a alternativa (
).
-
Hipótese nula (
): A porcentagem real de campineiros que usam álcool em gel regularmente é, no máximo, 30%. Em termos matemáticos: -
Hipótese alternativa (
): A porcentagem real de campineiros que usam álcool em gel regularmente é maior que 30%. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção amostral (
), que é a proporção de pessoas na nossa pesquisa que usam álcool em gel regularmente. Isso é simplesmente o número de pessoas que usam dividido pelo total da amostra.
Então, nossa proporção amostral é de 43,75%.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na nossa proporção amostral em relação à proporção verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão é:
Onde:
-
é a proporção sob a hipótese nula (0.30) -
é o tamanho da amostra (400)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico (z). Isso nos ajuda a ver quão distante nossa proporção amostral está da proporção da hipótese nula, em termos de erros padrão.
Passo 6
Vamos agora comparar o valor de z com o valor crítico para um teste unilateral à direita com
. Olhando na tabela z, o valor crítico para
é aproximadamente 2.33.
Como o nosso valor de z (6.00) é muito maior que 2.33, isso significa que a probabilidade de obtermos uma proporção amostral de 43,75% ou mais, se a verdadeira proporção fosse de 30%, é muito baixa.
Resposta
Como o valor calculado de z (6.00) é maior que o valor crítico (2.33), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que mais de 30% dos campineiros usam álcool em gel regularmente, contrariando a afirmação do prefeito.