Uma pesquisa realizada com 400 pessoas da cidade de Campinas apontou que 175 delas utilizam alcool em gel regularmente. O prefeito da cidade, em uma entrevista, afirma que, como máximo 30 % dos Campineiros utilizam alcool cm gel regularmente. Estabeleça apropriadamente as hipóteses e faça o teste correspondente (utilize alpha=0.01 ). [1.5 pontos]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 400 pessoas em Campinas, das quais 175 usam álcool em gel regularmente. O prefeito afirma que, no máximo, 30% dos campineiros usam álcool em gel regularmente. Nosso objetivo aqui é verificar se essa afirmação do prefeito está correta usando um teste estatístico. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de hipóteses para proporções e usar um nível de significância de alpha = 0.01.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. Em um teste de hipóteses, temos duas hipóteses: a nula ( H0) e a alternativa ( Ha).
  • Hipótese nula ( H0): A porcentagem real de campineiros que usam álcool em gel regularmente é, no máximo, 30%. Em termos matemáticos:
    H0: p <= 0.30
  • Hipótese alternativa ( Ha): A porcentagem real de campineiros que usam álcool em gel regularmente é maior que 30%. Em termos matemáticos:
    Ha: p > 0.30

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção amostral ( p), que é a proporção de pessoas na nossa pesquisa que usam álcool em gel regularmente. Isso é simplesmente o número de pessoas que usam dividido pelo total da amostra.
p = 175400 = 0.4375
Então, nossa proporção amostral é de 43,75%.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na nossa proporção amostral em relação à proporção verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão é:
SE = raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p0 é a proporção sob a hipótese nula (0.30)
  • n é o tamanho da amostra (400)
Substituindo os valores:
SE = raiz0.30 times 0.70400 = raiz0.21400 = raiz0.000525 approx 0.0229

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico (z). Isso nos ajuda a ver quão distante nossa proporção amostral está da proporção da hipótese nula, em termos de erros padrão.
z = p - p0SE = 0.4375 - 0.300.0229 approx 0.13750.0229 approx 6.00

Passo 6

Vamos agora comparar o valor de z com o valor crítico para um teste unilateral à direita com alpha = 0.01. Olhando na tabela z, o valor crítico para alpha = 0.01 é aproximadamente 2.33.
Como o nosso valor de z (6.00) é muito maior que 2.33, isso significa que a probabilidade de obtermos uma proporção amostral de 43,75% ou mais, se a verdadeira proporção fosse de 30%, é muito baixa.

Resposta

Como o valor calculado de z (6.00) é maior que o valor crítico (2.33), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que mais de 30% dos campineiros usam álcool em gel regularmente, contrariando a afirmação do prefeito.

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