A amplitude de uma onda viajando em uma corda é
. A onda de
está viajando na direção x positiva a uma velocidade de onda de
. (a) Determine seu comprimento de onda e escreva a equação para sua função de onda independente do tempo. (b) Para
, calcule o deslocamento e a velocidade transversal do ponto na corda em
, assumindo uma fase inicial
igual a zero. © Escreva a função de onda dependente do tempo para a onda. (d) Se o deslocamento da corda em
é
em
, escreva a função de onda dependente do tempo que usa o menor valor possível de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma onda que viaja em uma corda com uma amplitude de
e uma frequência de
. Essa onda está se movendo na direção positiva do eixo
com uma velocidade de
. Vamos resolver as quatro partes do exercício, usando conceitos de ondas, como comprimento de onda, função de onda e velocidade transversal.
Passo 2
Parte (a): Determinar o comprimento de onda e escrever a equação da função de onda independente do tempo.
Primeiro, precisamos encontrar o comprimento de onda (
). A relação entre a velocidade da onda (
), a frequência (
) e o comprimento de onda é dada por:
Vamos rearranjar para encontrar
:
Substituindo os valores:
Arredondando, temos
.
Agora, vamos escrever a equação da função de onda independente do tempo. A forma geral de uma onda que se propaga ao longo do eixo
é:
Como queremos a fun��ão independente do tempo (
), vamos remover o termo que envolve
:
Aqui,
é o número de onda e
é a fase inicial. O número de onda
é calculado por:
Assumindo que a fase inicial
, a equação fica:
Passo 3
Parte (b): Calcular o deslocamento e a velocidade transversal no ponto
para
.
Primeiro, usamos a função de onda completa, que depende do tempo:
Onde
é a frequência angular, calculada por:
Substituindo os valores:
Vamos calcular os argumentos:
Agora,
Como o seno é uma função periódica com período
, podemos simplificar o ângulo:
Então,
O deslocamento é
.
Agora, para a velocidade transversal (
), usamos a derivada da função de onda em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
A velocidade transversal é aproximadamente
.
Passo 4
Parte ©: Escrever a função de onda dependente do tempo para a onda.
A função de onda completa que depende tanto de
quanto de
é:
Já calculamos anteriormente:
Assumindo a fase inicial
, a função fica:
Passo 5
Parte (d): Escrever a função de onda dependente do tempo com deslocamento
em
e
, usando o menor valor possível de
.
Sabemos que:
Substituindo os valores:
Calculando os argumentos:
Então:
Simplificando o ângulo:
Como o seno é periódico:
Portanto:
Resolvendo para
:
Então:
O menor valor possível para
que satisfaz a equação é aproximadamente
.
A função de onda fica:
Resposta
[As respostas estão distribuídas nos passos acima.]