Uma onda da forma
está viajando ao longo de uma corda. No tempot
, eu prendo a corda em
. Encontre a amplitude da corda nas regiões
e
nos momentos subsequentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma onda que se propaga ao longo de uma corda, dada pela função:
onde
é a amplitude,
é a velocidade da onda, e
é o comprimento de onda. No instante inicial (
), a corda é presa em
. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da corda para as regiões
e
nos momentos seguintes.
Para resolver isso, vamos precisar entender como uma onda se comporta quando encontra uma barreira fixa, como é o caso de prender a corda em
. Quando uma onda atinge uma barreira fixa, ocorre a reflexão da onda, e a onda refletida tem amplitude igual à onda incidente, mas com sinal invertido.
Passo 2
Vamos começar considerando a onda incidente que está viajando para a direita (
):
Quando a onda atinge o ponto
onde a corda está presa, uma onda refletida é gerada. A onda refletida viaja para a esquerda (
) e tem amplitude invertida devido à condição de fronteira fixa. A expressão da onda refletida é:
Passo 3
Simplificando a expressão da onda refletida:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar a amplitude da corda nas regiões
e
nos tempos seguintes.
-
Para
: Apenas a onda incidente está presente, já que a onda refletida se propaga para . Portanto, a amplitude na região é simplesmente . -
Para
: A onda refletida está presente. A amplitude da onda refletida é , mas como a onda refletida se move na direção oposta, a amplitude efetiva também é .
Passo 5
Resumindo, após o instante inicial (
):
-
Para
: A amplitude da corda permanece , já que apenas a onda incidente está presente. -
Para
: A amplitude da corda também é , devido à onda refletida que se propaga para esta região.
Resposta
A amplitude da corda é
para ambas as regiões
e
nos momentos subsequentes.