1. Uma ampulheta pode ser considerada como formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é
    a) \frac{1}{2}
    b) 1 / 3
    c) \frac{1}{4}
    d) 1 / 6

Passo 1

O enunciado pede: calcular a razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro, quando a ampulheta é formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • São dois cones retos idênticos (mesmo raio de base e mesma altura) e eles estão unidos pelos vértices.
  • Os dois cones estão inscritos no cilindro reto, ou seja, cada base do cone coincide com a base do cilindro.
  • Preciso encontrar a razão \dfrac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{cilindro}}} para um dos cones.

Passo 2

Fórmula do volume do cilindro e significado das variáveis. Para um cilindro reto:
V_{\text{cilindro}} = \pi R^{2} H
onde R é o raio da base do cilindro e H é a altura do cilindro. Intuição: o volume do cilindro é a área da base ( \pi R^{2}) multiplicada pela altura ( H), porque o cilindro é uma “pilha” de áreas iguais ao longo de H.

Passo 3

Fórmula do volume do cone e ensino do porquê da fórmula. Para um cone reto com raio de base R e altura h vale:
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi R^{2} h.
Explicação (derivação por fatias): pense em cortar o cone em fatias horizontais muito finas. A seção a uma distância x do vértice é um círculo de raio proporcional a x. Se o raio da base (na base, x=h) é R, então o raio nessa fatia é r(x)=\dfrac{R}{h}x. A área da fatia é \pi r(x)^{2}=\pi \dfrac{R^{2}}{h^{2}} x^{2}. Integrando essas áreas de x=0 a x=h:
V_{\text{cone}}=\int_{0}^{h} \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} x^{2}\,dx = \pi \frac{R^{2}}{h^{2}} \cdot \frac{h^{3}}{3} = \frac{1}{3}\pi R^{2} h.
Isso mostra por que aparece o fator 1/3 na fórmula do cone.

Passo 4

Relacionando as dimensões da ampulheta e do cilindro. Como os cones são idênticos e estão unidos pelos vértices dentro do cilindro, as duas bases dos cones ficam nas duas bases do cilindro. Logo:
  • O raio da base do cone é igual ao raio do cilindro; chamo ambos de R.
  • A altura total do cilindro é a soma das alturas dos dois cones idênticos. Se cada cone tem altura h, então a altura do cilindro é H=2h. Portanto cada cone tem altura h=\dfrac{H}{2}.

Passo 5

Calcular o volume de um cone em função de R e H. Substituo h=\dfrac{H}{2} na fórmula do cone:
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^{2} \cdot \frac{H}{2} = \frac{1}{6}\pi R^{2} H.
O volume do cilindro, já lembrando, é
V_{\text{cilindro}}=\pi R^{2} H.

Passo 6

Calcular a razão pedida. Divido V_{\text{cone}} por V_{\text{cilindro}}:
\frac{V_{\text{cone}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\dfrac{1}{6}\pi R^{2} H}{\pi R^{2} H} = \frac{1}{6}.
Portanto a razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é \dfrac{1}{6}.

Resposta

d) \dfrac{1}{6}

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