- Uma ampulheta pode ser considerada como formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro, quando a ampulheta é formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Informações relevantes que temos do enunciado:
- São dois cones retos idênticos (mesmo raio de base e mesma altura) e eles estão unidos pelos vértices.
- Os dois cones estão inscritos no cilindro reto, ou seja, cada base do cone coincide com a base do cilindro.
- Preciso encontrar a razão
para um dos cones.
Passo 2
Fórmula do volume do cilindro e significado das variáveis. Para um cilindro reto:
onde
é o raio da base do cilindro e
é a altura do cilindro. Intuição: o volume do cilindro é a área da base (
) multiplicada pela altura (
), porque o cilindro é uma “pilha” de áreas iguais ao longo de
.
Passo 3
Fórmula do volume do cone e ensino do porquê da fórmula. Para um cone reto com raio de base
e altura
vale:
Explicação (derivação por fatias): pense em cortar o cone em fatias horizontais muito finas. A seção a uma distância
do vértice é um círculo de raio proporcional a
. Se o raio da base (na base,
) é
, então o raio nessa fatia é
. A área da fatia é
. Integrando essas áreas de
a
:
Isso mostra por que aparece o fator
na fórmula do cone.
Passo 4
Relacionando as dimensões da ampulheta e do cilindro. Como os cones são idênticos e estão unidos pelos vértices dentro do cilindro, as duas bases dos cones ficam nas duas bases do cilindro. Logo:
- O raio da base do cone é igual ao raio do cilindro; chamo ambos de
. - A altura total do cilindro é a soma das alturas dos dois cones idênticos. Se cada cone tem altura
, então a altura do cilindro é . Portanto cada cone tem altura .
Passo 5
Calcular o volume de um cone em função de
e
. Substituo
na fórmula do cone:
O volume do cilindro, já lembrando, é
Passo 6
Calcular a razão pedida. Divido
por
:
Portanto a razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é
.
Resposta
d)