- A área da interseção de um plano com uma bola de raio 13 é
. A distância do plano ao centro da bola é
a) 1
b) 5
c) 8
d) 12
a) 1
b) 5
c) 8
d) 12
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Dá uma bola (esfera) com raio
. - Diz que a interseção de um plano com essa bola tem área
. - Pede a distância do plano ao centro da bola.
- Apresenta alternativas: (a)
, (b) , (c) , (d) .
Passo 2
Entender o que significa a interseção do plano com a esfera. Quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo (se o plano cortar efetivamente a esfera). Vamos definir variáveis simples e claras:
-
= raio da esfera. Aqui . -
= distância (perpendicular) do centro da esfera ao plano — é o que queremos encontrar. -
= raio do círculo de interseção (o círculo que aparece na seção do plano).
A área do círculo de interseção é dada pela fórmula da área de um círculo.
Passo 3
Fórmula da área de um círculo: a área
de um círculo de raio
é
Aqui o enunciado dá
. Usando a fórmula, podemos achar
.
Passo 4
Calcular
a partir da área dada. Igualando:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
Passo 5
Relacionar
,
e
. Geometricamente, do centro da esfera até um ponto do círculo de interseção forma-se um triângulo retângulo: a hipotenusa é
, um cateto é
(distância até o plano) e o outro cateto é
(raio do círculo). Pela relação de Pitágoras:
Passo 6
Substituir os valores conhecidos e resolver para
. Temos
e
, então
Portanto
A distância é não negativa, então pegamos
.
Passo 7
Conferindo com as alternativas dadas: a alternativa correta é a (b), que corresponde a
. Força aí que é um cálculo direto — lembra: área → raio do círculo → Pitágoras para achar a distância.
Resposta
(b)