An electric line source of infinite length and constant current, placed along the
axis, radiates in free space at large distances from the source (
) a time-harmonic complex magnetic field given by
where
is a constant,
, and
is the radial cylindrical distance. Determine the corresponding electric field for
.
Passo 1
O enunciado fornece, para
, o campo magnético no espaço livre
onde
é constante,
e
é a distância radial cilíndrica. A tarefa é determinar o campo elétrico correspondente
em
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
tem apenas componente azimutal . - Região considerada é livre de fontes elétricas (pois
, longe da fonte). - Parâmetros do meio:
.
O que se pede: encontrarcompatível com esse para .
Passo 2
Método escolhido (explico de forma simples): em regime harmônico e em região sem fontes a relação entre
e
é dada pela equação de Maxwell-Faraday/Ampère em forma fasorial. Usamos a lei de Ampère (sem fonte) em fasores:
Dessa relação isolamos
como
Vou calcular
em coordenadas cilíndricas para o
dado.
Passo 3
Recordando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas
: para um campo
que não depende de
nem de
(caso aqui, dependência só em
),
apenas a componente do rotacional é não nula e vale
apenas a componente
porque
e
no nosso caso e não há dependência em
. Logo o rotacional é
Passo 4
Substituindo na relação entre
e
obtemos que o campo elétrico terá apenas componente
:
Ou seja, precisamos calcular
com
.
Passo 5
Calculemos passo a passo. Primeiro
Agora derivamos:
Usando a regra do produto,
Fatorando
obtemos
Passo 6
Dividindo por
temos
Substituindo em
:
Agora simplificamos essa expressão para ficar mais interpretável.
Passo 7
Reescrevendo o fator
e lembrando que
e que a impedância intrínseca do meio é
podemos manipular:
Além disso
Usando essas identidades obtemos, depois de rearranjar,
Assim o campo elétrico completo é
Passo 8
Interpretação prática (útil para prova): para
o termo dominante em potência de
é o que decai como
. Portanto, no campo distante a relação entre
e
é, ao primeiro ordem,
ou seja,
é aproximadamente proporcional a
com polarização em
(enquanto
está em
). O segundo termo em
é um termo de ordem inferior (campo próximo-corretivo) e pode ser desprezado em primeira aproximação de radiacão distante. Força-se aqui a lembrar que o sinal negativo e a dependência de fase decorrem da convenção fasorial usada.