The time-harmonic complex electric field radiated in free space by a linear radiating element is given by
\begin{aligned} \mathbf{E} & =\hat{\mathbf{a}}_{r} E_{r}+\hat{\mathbf{a}}_{\theta} E_{\theta} \\\ E_{r} & =E_{0} \frac{\cos \theta}{r^{2}}\left[1+\frac{1}{j \beta_{0} r}\right] e^{-j \beta_{0} r} \\\ E_{\theta} & =j E_{0} \frac{\beta_{0} \sin \theta}{2 r}\left[1+\frac{1}{j \beta_{0} r}-\frac{1}{\left(\beta_{0} r\right)^{2}}\right] e^{-j \beta_{0} r} \end{aligned}
where \hat{\mathbf{a}}_{r} and \hat{\mathbf{a}}_{\theta} are unit vectors in the spherical directions r and \theta, E_{0} is a constant, and \beta_{0}=\omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}. Determine the corresponding spherical magnetic field components.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico time-harmônico em coordenadas esféricas e pede o campo magnético esférico correspondente. Dados e perguntas extraídas do enunciado:
  • Foi fornecido o campo elétrico
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{a}}_{r}E_{r}+\hat{\mathbf{a}}_{\theta}E_{\theta}
com
E_{r}=E_{0}\frac{\cos\theta}{r^{2}}\Bigl[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Bigr]e^{-j\beta_{0}r}
E_{\theta}=jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2r}\Bigl[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}-\frac{1}{(\beta_{0}r)^{2}}\Bigr]e^{-j\beta_{0}r}
  • Constantes: \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}, E_{0} constante; vetores unitários \hat{\mathbf{a}}_{r},\hat{\mathbf{a}}_{\theta}.
  • Pergunta: determinar os componentes esféricos do campo magnético \mathbf{H} (isto é, H_{r}, H_{\theta}, H_{\varphi}) correspondentes a esse \mathbf{E}.

Passo 2

Qual equação usar e por quê — revisão rápida e intuitiva:
  • Em regiões de espaço livre sem fontes, para campos harmônicos (convenção de fasores com dependência temporal suprimida) a equação de Maxwell-Faraday relaciona o rotacional de \mathbf{E} com \mathbf{H}. Usaremos a forma
\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu_{0}\mathbf{H}.
Explicação das quantidades:
\omega é a frequência angular, \mu_{0} a permeabilidade do vácuo. A constante \beta_{0} já dada satisfaz \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}. Também é útil a impedância do vácuo
\eta_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}
e a relação
\omega\mu_{0}=\beta_{0}\eta_{0}.
  • Isolando \mathbf{H},
\mathbf{H}=\frac{1}{-j\omega\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{E} =\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\nabla\times\mathbf{E}.
Observação: o fator j/(\beta_{0}\eta_{0}) vem de 1/(-j\omega\mu_{0}) usando \omega\mu_{0}=\beta_{0}\eta_{0} e -1/j=j.

Passo 3

Rotacional em coordenadas esféricas para um campo com simetria axisimétrica:
  • Fórmula útil (com dependência somente em r e \theta, sem dependência em \varphi, e componente \varphi de \mathbf{E} nula) reduz o rotacional a apenas componente \varphi:
(\nabla\times\mathbf{E})_{\varphi}=\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr)-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta}\Bigr].
  • As outras componentes do rotacional são zero quando não há dependência em \varphi e E_{\varphi}=0. Assim só teremos componente \varphi de \nabla\times\mathbf{E}, e consequentemente \mathbf{H} terá apenas componente \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}:
\mathbf{H}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}H_{\varphi},\qquad H_{\varphi}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\;(\nabla\times\mathbf{E})_{\varphi}.

Passo 4

Preparar as expressões a derivar: fator comum e funções de r
  • Extraio fatores comuns E_{0} e e^{-j\beta_{0}r}. Defino as funções dependentes só de r:
g(r)=1+\frac{1}{j\beta_{0}r}, \qquad f(r)=1+\frac{1}{j\beta_{0}r}-\frac{1}{(\beta_{0}r)^{2}}.
Então
E_{r}=E_{0}\frac{\cos\theta}{r^{2}}g(r)e^{-j\beta_{0}r}, \qquad E_{\theta}=jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2r}f(r)e^{-j\beta_{0}r}.

Passo 5

Calcular \partial E_{r}/\partial\theta
  • Como E_{r}=E_{0}\frac{\cos\theta}{r^{2}}g(r)e^{-j\beta_{0}r} e os únicos termos que dependem de \theta são \cos\theta,
\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta} =E_{0}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\frac{\cos\theta}{r^{2}}\Bigr) g(r)e^{-j\beta_{0}r} =E_{0}\frac{-\sin\theta}{r^{2}}g(r)e^{-j\beta_{0}r}.

Passo 6

Calcular \frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr)
  • Primeiro note que rE_{\theta} simplifica a dependência em r externa:
rE_{\theta}=r\cdot jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2r}f(r)e^{-j\beta_{0}r} =jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2}f(r)e^{-j\beta_{0}r}.
  • Agora derivamos em r. Usamos produto: \partial_r\bigl(f(r)e^{-j\beta_{0}r}\bigr)=f'(r)e^{-j\beta_{0}r}+f(r)(-j\beta_{0})e^{-j\beta_{0}r}. Assim
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr) =jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2}\bigl[f'(r)-j\beta_{0}f(r)\bigr]e^{-j\beta_{0}r}.

Passo 7

Computar f'(r) explicitamente
  • f(r)=1+\dfrac{1}{j\beta_{0}r}-\dfrac{1}{\beta_{0}^{2}r^{2}}. Derivando em r,
f'(r)=-\frac{1}{j\beta_{0}r^{2}}+\frac{2}{\beta_{0}^{2}r^{3}}.
  • Agora formamos f'(r)-j\beta_{0}f(r). Calcule termo a termo:
f'(r)-j\beta_{0}f(r) =\Bigl(-\frac{1}{j\beta_{0}r^{2}}+\frac{2}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\Bigr) -j\beta_{0}\Bigl(1+\frac{1}{j\beta_{0}r}-\frac{1}{\beta_{0}^{2}r^{2}}\Bigr).
  • Simplificando (usar 1/j=-j e -1/j=j conforme necessário) obtém-se, após combinar termos,
f'(r)-j\beta_{0}f(r)=-j\beta_{0}-\frac{1}{r}+\frac{2j}{\beta_{0}r^{2}}+\frac{2}{\beta_{0}^{2}r^{3}}.

Passo 8

Montar \frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr) com o resultado do passo anterior
  • Substituindo em \frac{\partial}{\partial r}(rE_{\theta}),
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr) =jE_{0}\frac{\beta_{0}\sin\theta}{2}\Bigl[-j\beta_{0}-\frac{1}{r}+\frac{2j}{\beta_{0}r^{2}}+\frac{2}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\Bigr]e^{-j\beta_{0}r}.
  • Multiplicando j\beta_{0}/2 por cada termo e simplificando j\cdot(-j)=1,\; j\cdot j=-1, obtemos
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rE_{\theta}\bigr) =E_{0}\sin\theta\Bigl[\frac{\beta_{0}^{2}}{2}-\frac{j\beta_{0}}{2r}-\frac{1}{r^{2}}+\frac{j}{\beta_{0}r^{3}}\Bigr]e^{-j\beta_{0}r}.

Passo 9

Formar a diferença do rotacional e simplificar completamente
  • Lembrando que
(\nabla\times\mathbf{E})_{\varphi}=\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}(rE_{\theta})-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta}\Bigr],
substituímos \partial(rE_{\theta})/\partial r do passo 8 e \partial E_{r}/\partial\theta do passo 5:
\frac{\partial}{\partial r}(rE_{\theta})-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta} =E_{0}\sin\theta\,e^{-j\beta_{0}r}\Bigl[\frac{\beta_{0}^{2}}{2}-\frac{j\beta_{0}}{2r}-\frac{1}{r^{2}}+\frac{j}{\beta_{0}r^{3}}+\frac{1}{r^{2}}g(r)\Bigr],
onde usamos g(r)=1+\dfrac{1}{j\beta_{0}r} (a última parcela veio de -\partial E_{r}/\partial\theta = +E_{0}\dfrac{\sin\theta}{r^{2}}g(r)e^{-j\beta_{0}r}).
  • Os termos -1/r^{2} e +1/r^{2} se cancelam; os termos em 1/r^{3} também se cancelam porque \dfrac{j}{\beta_{0}r^{3}} + \dfrac{1}{j\beta_{0}r^{3}} =0. Depois dessa grande simplificação sobra apenas
\frac{\partial}{\partial r}(rE_{\theta})-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta} =E_{0}\sin\theta\,e^{-j\beta_{0}r}\Bigl[\frac{\beta_{0}^{2}}{2}-\frac{j\beta_{0}}{2r}\Bigr].

Passo 10

Calcular H_{\varphi} a partir do rotacional
  • Usando
H_{\varphi}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\cdot\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}(rE_{\theta})-\frac{\partial E_{r}}{\partial\theta}\Bigr],
substituímos a expressão do passo 9:
H_{\varphi}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}r}E_{0}\sin\theta\,e^{-j\beta_{0}r}\Bigl[\frac{\beta_{0}^{2}}{2}-\frac{j\beta_{0}}{2r}\Bigr].
  • Simplificando fator \beta_{0} e j obtemos uma forma compacta. Fatorando \dfrac{\beta_{0}}{2} em colchetes e simplificando:
H_{\varphi}= \frac{jE_{0}\beta_{0}\sin\theta}{2\eta_{0}r} \Bigl[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Bigr] e^{-j\beta_{0}r}.
  • Observação física: \mathbf{H} tem apenas componente \varphi; os componentes \hat{\mathbf{a}}_{r} e \hat{\mathbf{a}}_{\theta} de \mathbf{H} são nulos.

Resposta

H_{r}=0 \
H_{\theta}=0 \
H_{\varphi}= \frac{jE_{0}\beta_{0}\sin\theta}{2\eta_{0}r}\Bigl[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Bigr]e^{-j\beta_{0}r}

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