The time-harmonic complex electric field radiated in free space by a linear radiating element is given by
where
and
are unit vectors in the spherical directions
and
is a constant, and
. Determine the corresponding spherical magnetic field components.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico time-harmônico em coordenadas esféricas e pede o campo magnético esférico correspondente. Dados e perguntas extraídas do enunciado:
- Foi fornecido o campo elétrico
com
- Constantes:
, constante; vetores unitários . - Pergunta: determinar os componentes esféricos do campo magnético
(isto é, ) correspondentes a esse .
Passo 2
Qual equação usar e por quê — revisão rápida e intuitiva:
- Em regiões de espaço livre sem fontes, para campos harmônicos (convenção de fasores com dependência temporal suprimida) a equação de Maxwell-Faraday relaciona o rotacional de
com . Usaremos a forma
Explicação das quantidades:
é a frequência angular,
a permeabilidade do vácuo. A constante
já dada satisfaz
. Também é útil a impedância do vácuo
e a relação
- Isolando
,
Observação: o fator
vem de
usando
e
.
Passo 3
Rotacional em coordenadas esféricas para um campo com simetria axisimétrica:
- Fórmula útil (com dependência somente em
e , sem dependência em , e componente de nula) reduz o rotacional a apenas componente :
- As outras componentes do rotacional são zero quando não há dependência em
e . Assim só teremos componente de , e consequentemente terá apenas componente :
Passo 4
Preparar as expressões a derivar: fator comum e funções de
- Extraio fatores comuns
e . Defino as funções dependentes só de :
Então
Passo 5
Calcular
- Como
e os únicos termos que dependem de são ,
Passo 6
Calcular
- Primeiro note que
simplifica a dependência em externa:
- Agora derivamos em
. Usamos produto: . Assim
Passo 7
Computar
explicitamente
-
. Derivando em ,
- Agora formamos
. Calcule termo a termo:
- Simplificando (usar
e conforme necessário) obtém-se, após combinar termos,
Passo 8
Montar
com o resultado do passo anterior
- Substituindo em
,
- Multiplicando
por cada termo e simplificando , obtemos
Passo 9
Formar a diferença do rotacional e simplificar completamente
- Lembrando que
substituímos
do passo 8 e
do passo 5:
onde usamos
(a última parcela veio de
).
- Os termos
e se cancelam; os termos em também se cancelam porque Depois dessa grande simplificação sobra apenas
Passo 10
Calcular
a partir do rotacional
- Usando
substituímos a expressão do passo 9:
- Simplificando fator
e obtemos uma forma compacta. Fatorando em colchetes e simplificando:
- Observação física:
tem apenas componente ; os componentes e de são nulos.