Se (an) uma sequência infinita tal que lim n +infty an=L. Mostre que sumn=1^+infty(an-an+1)=a1-L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos uma sequência infinita (an) que converge para um limite L quando n vai para o infinito. A gente precisa mostrar que a soma infinita dos termos (an - an+1) de n=1 até +infty é igual a a1 - L. Vamos precisar entender de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa soma sumn=1^+infty (an - an+1). Isso é uma série telescópica, que é um tipo especial de série onde muitos termos se cancelam quando a gente soma. Uma série telescópica simplifica muito porque a maioria dos termos intermediários desaparecem.

Passo 3

Vamos escrever a soma dos primeiros N termos para ver esse cancelamento:
sumn=1^N (an - an+1) = (a1 - a2) + (a2 - a3) + dots + (aN - aN+1)
Observa que -a2 cancela com +a2, -a3 com +a3 e assim por diante, até restar apenas a1 - aN+1.

Passo 4

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos levar N ao infinito:
limN to +infty sumn=1^N (an - an+1) = limN to +infty (a1 - aN+1)
Sabemos que limn to +infty an = L, então:
limN to +infty aN+1 = L

Resposta

Portanto,
sumn=1^+infty (an - an+1) = a1 - L

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