Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja (Sn) a sequência de somas parciais de an. Se (Sn) é convergente, então lim n +infty an=0.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência de somas parciais, denotada por , que é relacionada a outra sequência . A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas, mais especificamente o comportamento das somas parciais de uma série. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência de somas parciais convergente e como isso afeta os termos individuais .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a sequência de somas parciais Sn = a1 + a2 + a3 + dots + an é definida por:
Ou seja, cada termo é a soma dos primeiros termos da sequência .

Passo 3

Agora, se a sequência limn to +infty Sn = S é convergente, isso significa que ela se aproxima de um certo valor quando tende ao infinito. Em termos matemáticos:
Onde é um número real finito.

Passo 4

Para entender o que isso significa para os termos individuais limn to +infty an = limn to +infty (Sn - Sn-1) , vamos considerar que:
limn to +infty an = S - S = 0
Se converge para , então também converge para . Portanto:

Resposta

Verdadeiro. Se a sequência das somas parciais converge, então o limite dos termos individuais é zero.

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