Ana tomou um empréstimo no valor de
6.000,00
6,12 %
10 %$ menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo. Calcule o valor pago para quitar a dívida.
Resp.: $6.254,62.
Passo 1
O enunciado diz que Ana tomou um empréstimo de
para pagar em 3 meses, com “taxa de juros de
no período” (isto é,
sobre os 3 meses). Depois de 2 meses, Ana quita a dívida e, para fazer a quitação, foi cobrada uma taxa exponencial mensal que é
menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo. O que o enunciado pede é: calcular o valor pago na quitação ao fim do 2.º mês.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Capital inicial:
. - Juros no período de 3 meses:
, isto é, fator de acumulação em 3 meses igual a . - O empréstimo é capitalizado exponencialmente (juros compostos) mensalmente.
- Para quitação no mês 2 usa-se uma taxa exponencial mensal de quitação igual a
menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo (ou seja, reduz-se a taxa mensal em em termos relativos). - Precisamos encontrar o valor pago no momento da quitação (ao fim do 2.º mês).
Passo 2
Entender o que significa “taxa exponencial mensal do empréstimo” e como encontrá-la: como os
são sobre o período de 3 meses, a taxa efetiva mensal
é a taxa que satisfaz
Isto vem da definição de juros compostos: se a taxa mensal for
, então em 3 meses o fator de acumulação é
. Precisamos isolar
:
Uma forma prática de avaliar isso é observar que
, muito próximo de
. Portanto
Aqui eu usei um teste numérico simples: elevar
ao cubo e ver que dá
, o que indica que a taxa mensal é praticamente
. Para provas isso é aceitável — se quiser, podemos calcular por logaritmos para maior precisão, mas não é necessário porque a aproximação dá o valor exato até os centavos no resultado final.
Passo 3
Determinar a taxa mensal de quitação (a taxa que o banco usou para descontar um mês): a quitação é feita com uma taxa que é
menor que a taxa mensal do empréstimo, isto é, multiplicamos por
. Logo a taxa de quitação
é
Passo 4
Calcular o montante devido originalmente para o final dos 3 meses (o valor que venceria no fim do prazo): como o empréstimo era de
e o fator de acumulação em 3 meses é
, o valor devido ao final dos 3 meses seria
Esse é o valor que seria pago no vencimento (mês 3) se Ana não tivesse quitado antes.
Passo 5
Explicar por que descontamos e como: como Ana quita no fim do mês 2 (um mês antes do vencimento), o valor a pagar agora é o valor que corresponde ao montante de
no tempo 2. Para trazer esse montante de tempo 3 para tempo 2 usando a taxa de quitação
(exponencial mensal), usamos desconto por capitalização composta: dividimos por
. Assim o valor a pagar na quitação é
Agora calculamos essa divisão. Fazendo a conta:
Arredondando para os centavos (duas casas decimais), obtemos
.
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para a prova (passos que você pode reproduzir na hora):
- Converter a taxa do período em taxa mensal exponencial por
. - Calcular a taxa mensal de quitação reduzida em
: . - Calcular o montante a vencer no tempo final:
. - Trazer esse montante para o instante da quitação dividindo por
. - Arredondar o resultado final para os centavos.