Ana tomou um empréstimo no valor de \ 6.000,00 para pagar no prazo de 3 meses, a uma taxa de juros de6,12 % no período. Passados 2 meses, resolveu quitar a dívida e nesta época foi cobrada uma taxa exponencial mensalííé10 %$ menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo. Calcule o valor pago para quitar a dívida.
Resp.: $6.254,62.

Passo 1

O enunciado diz que Ana tomou um empréstimo de \$6.000,00 para pagar em 3 meses, com “taxa de juros de 6,12\% no período” (isto é, 6{,}12\% sobre os 3 meses). Depois de 2 meses, Ana quita a dívida e, para fazer a quitação, foi cobrada uma taxa exponencial mensal que é 10\% menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo. O que o enunciado pede é: calcular o valor pago na quitação ao fim do 2.º mês.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Capital inicial: \$6.000,00.
  • Juros no período de 3 meses: 6{,}12\%, isto é, fator de acumulação em 3 meses igual a 1{,}0612.
  • O empréstimo é capitalizado exponencialmente (juros compostos) mensalmente.
  • Para quitação no mês 2 usa-se uma taxa exponencial mensal de quitação igual a 10\% menor que a taxa exponencial mensal do empréstimo (ou seja, reduz-se a taxa mensal em 10\% em termos relativos).
  • Precisamos encontrar o valor pago no momento da quitação (ao fim do 2.º mês).

Passo 2

Entender o que significa “taxa exponencial mensal do empréstimo” e como encontrá-la: como os 6{,}12\% são sobre o período de 3 meses, a taxa efetiva mensal \,i é a taxa que satisfaz
(1+i)^3 = 1{,}0612.
Isto vem da definição de juros compostos: se a taxa mensal for i, então em 3 meses o fator de acumulação é (1+i)^3. Precisamos isolar i:
i = (1{,}0612)^{1/3} - 1.
Uma forma prática de avaliar isso é observar que (1{,}02)^3 = 1{,}061208, muito próximo de 1{,}0612. Portanto
i \approx 0{,}02 = 2\% \text{ ao mês}.ê
Aqui eu usei um teste numérico simples: elevar 1{,}02 ao cubo e ver que dá 1{,}061208, o que indica que a taxa mensal é praticamente 2\%. Para provas isso é aceitável — se quiser, podemos calcular por logaritmos para maior precisão, mas não é necessário porque a aproximação dá o valor exato até os centavos no resultado final.

Passo 3

Determinar a taxa mensal de quitação (a taxa que o banco usou para descontar um mês): a quitação é feita com uma taxa que é 10\% menor que a taxa mensal do empréstimo, isto é, multiplicamos por 1-0{,}10=0{,}90. Logo a taxa de quitação \,r é
r = 0{,}9\cdot i = 0{,}9\cdot 0{,}02 = 0{,}018 = 1{,}8\% \text{ ao mês}.ê

Passo 4

Calcular o montante devido originalmente para o final dos 3 meses (o valor que venceria no fim do prazo): como o empréstimo era de \$6.000,00 e o fator de acumulação em 3 meses é 1{,}0612, o valor devido ao final dos 3 meses seria
\text{Montante}_{3} = 6000 \times 1{,}0612 = 6000 \times 1{,}0612 = 6367{,}20.
Esse é o valor que seria pago no vencimento (mês 3) se Ana não tivesse quitado antes.

Passo 5

Explicar por que descontamos e como: como Ana quita no fim do mês 2 (um mês antes do vencimento), o valor a pagar agora é o valor que corresponde ao montante de \$6367{,}20 no tempo 2. Para trazer esse montante de tempo 3 para tempo 2 usando a taxa de quitação r (exponencial mensal), usamos desconto por capitalização composta: dividimos por (1+r). Assim o valor a pagar na quitação é
\text{Quita} = \frac{\text{Montante}_{3}}{1+r} = \frac{6367{,}20}{1{,}018}.
Agora calculamos essa divisão. Fazendo a conta:
\frac{6367{,}20}{1{,}018} \approx 6254{,}619447\ldots
Arredondando para os centavos (duas casas decimais), obtemos \$6.254,62.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para a prova (passos que você pode reproduzir na hora):
  • Converter a taxa do período em taxa mensal exponencial por (1+i)^3 = 1{,}0612.
  • Calcular a taxa mensal de quitação reduzida em 10\%: r = 0{,}9\,i.
  • Calcular o montante a vencer no tempo final: 6000\times 1{,}0612.
  • Trazer esse montante para o instante da quitação dividindo por (1+r).
  • Arredondar o resultado final para os centavos.

Resposta

\$6.254,62

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